Titelbild Skalarprodukt

Skalarprodukt – Verstehen und Anwenden leicht gemacht

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Vor dem Fach Mathe scheuen sich viel Schüler. Wenn dann noch das Thema Skalarprodukt von Vektoren aufkommt, schalten die meisten ab. Aber in Wirklichkeit ist es gar nicht so kompliziert. In diesem Artikel erklären wir dir leicht verständlich

  • die Definition vom Skalarprodukt ist und wie man es berechnet
  • wie man Winkel zwischen Vektoren bestimmen kann
  • Aufgaben zum Üben

Lass uns direkt anfangen!

Was ist ein Skalarprodukt?

Die Multiplikation von zwei Vektoren ist das Skalarprodukt . Das Ergebnis ist eine reelle Zahl, das Skalar.

Für das Skalarprodukt wird meist das: ∘ als Symbol verwendet, anstatt das typische Multiplikationszeichen.

Vorischt: Um das Skalarprodukt zu bilden, müssen die Vektoren gleich viele Komponenten haben! Du kannst also kein Skalarprodukt aus Raum- und Flächenvektor bilden.

Berechnung  Skalarprodukt zweier Vektoren – so wird´s gemacht

Berechnet wird es durch Addition der zeilenweise Produkte.

Die Formel dafür lautet:

Merke:

Natürlich kannst du es auch von Vektoren in der Ebene berechnen:

Merke:

Anwendung Skalarprodukt

Mithilfe des Skalarproduktes können einige Aufgaben gelöst werden, wenn es um Vektoren geht.

Schnittwinkel zweier Vektoren

Anwendung findet es bei der Bestimmung der geometrischen Lage eines Vektors. Denn mithilfe des Skalarprodukt kannst du den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen.

Merke:

Hier siehst du die Vektoren dargestellt. Mithilfe der Formel kannst du den eingeschlossenen Winkel φ berechnen.

Zur Erinnerung:  und  sind die Längen der Vektoren

Berechnung:

Vorgehen

1. Bestimmen der Vektoren

2. Skalarprodukt berechnen

3. Länge der Vektoren bestimmen

4. Einsetzten in die Gleichung

Beispiel

1. und 

2.

3.                          

4.

senkrechte Vektoren – schnelle Berechnung

Du kannst auch prüfen, ob zwei Vektoren orthogonal zueinander liegen. Dafür gilt:

Das Produkt zweier Vektoren muss also 0 ergeben.

Damit dieser Fall eintritt, muss einer der Faktoren = 0 sein.

Da die Länge der Vektoren immer größer als null ist, muss der cos(φ) = 0 sein. Bei einem Winkel von 90° ist das der Fall.

Aus diesem Grund verlaufen die Vektoren orthogonal (senkrecht) zueinander bei dem Ergebnis von 0.

Beispiel:

a)

 

b) 

Skalarprodukt Aufgaben zum selber lösen

Wir haben dir noch ein paar Rechenaufgaben herausgesucht. Damit kannst du dein erarbeitetes Wissen unter Beweis stellen. Das wird dir in den nächsten Mathestunden sicherlich helfen!

Berechne das Skalarprodukt folgender Vektoren:

a)

b)

c)

Lösung

a) = 9

b) = 20

c) = 15

Berechne den Winkel zwischen den Vektoren!

a)

b)

c)

Lösung

a) = 70,93°

b) = 64,74°

c) = 69,87°

Prüfe, ob die Vektoren senkrecht zueinander stehen!

a) 

b)

c)

Lösung

a) senkrecht

b) nicht senkrecht

c) senkrecht

Wenn dir der Artikel gefallen hat und du noch mehr zum Thema Mathematik wissen willst, solltest du dir auch die Artikel zu linearen Gleichungen und zur Prozentrechnung anschauen.

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