Logarithmus – einfach erklärt und sofort verstehen

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Mathe ist in vielen Hinsichten schwer zu verstehen. Vor allem beim Thema Logarithmus ist das der Fall.

Doch zum Glück bist du auf diesen Artikel gestoßen, der dir alles leicht verständlich erklären wird. Somit kannst du in den nächsten Mathestunden mit diesem Wissen glänzen:

  • Regeln
  • Logarithmusgesetze anwenden und berechnen
  • Logarithmusfunktionen erkennen und beschreiben

Also lasst uns anfangen!

Was ist ein Logarithmus?

Du kennst sicherlich schon Gleichungen aus der Potenzrechnung:

Nehmen wir das Beispiel

Auf den ersten Blick ist es nicht gleich erkennbar, welcher  Wert für x eingesetzt werden muss. Diese Aufgabe übernimmt der Logarithmus. Die Schreibweise lautet folgendermaßen:

  für unser Beispiel: 

Die 4 muss also dreimal mit sich selbst multipliziert werden, damit 64 rauskommt.

Merke: 

Mit Hilfe des Logarithmus wird eine Zahl x berechnet, mit dem die Basis b potenziert werden muss, um das Ergebnis a zu erhalten

weitere Beispiele:

Vorsicht: Logarithmen sind nur für positive Zahlen definiert. Zusätzlich darf die Logarithmusbasis b nicht gleich 1 sein

Auch der Logarithmus von 0 ist nicht definiert

Logarithmusgesetze – Was muss ich beachten?

Es gibt einige Logarithmus Regeln, die dir helfen, den Logarithmus berechnen zu können. Diese haben wir für dich im Folgenden zusammengefasst.

Produkt

Wenn du in einem Logarithmus ein Produkt x*y zu stehen hast, kannst du es ganz einfach in eine Summe umschreiben. Das Umschreiben funktioniert in beide Richtungen. Dies gilt auch für die nachfolgenden Regeln.

Merke:

Beispiel: 

Quotienten

Ist innerhalb des Logarithmus ein Bruch, so kannst du diesen durch eine Differenz der Logarithmen ausdrücken. Der Nenner wird folglich vom Zähler abgezogen.

Merke:

Beispiel: 

Potenz

Falls du auf eine Potenz stößt, kann diese leicht umgeschrieben werden. Der Exponent wird aus dem Logarithmus herausgezogen und mit diesem dann multipliziert.

Merke: 

Beispiel:

Wurzel

Eine Wurzel begegnet dir innerhalb des Logarithmus? Kein Problem, multipliziere einfach den Wurzelexponent als Kehrwert mit dem Logarithmus.

Merke:

Denk dran: 

Beispiel: 

Basiswechsel

Falls man eine bestimmte Basis  haben will, kann dies mithilfe des Logarithmus Basiswechsel getan werden.

Merke: 

Beispiel:

Übersicht Logarithmusregeln

Regeln

Formel

Beispiel

Produkt

Quotient

Potenz

Wurzel

Basiswechsel

Besonderheiten Logarithmus

Neben dem allgemeinem Logarithmus, gibt es einige besondere Logarithmen mit bestimmten Zahlen als Basis b. Diese Besonderheiten haben einen großen Stellenwert. Deswegen werden sie im Folgenden näher erklärt.

dekadischer Logarithmus

Der dekadische Logarithmus beschreibt Logarithmen zur Basis 10. Meist wird die Basis weggelassen log oder noch weiter verkürzt zu lg.

Merke:

Beispiel: 

natürlicher Logarithmus

Ist die Basis eines Logarithmus die Eulersche Zahl e, nennt man ihn natürlicher Logarithmus. Die Schreibweise für natürliche Logarithmen lautet ln.

Merke:

Beispiel: 

Logarithmusfunktion – so sieht sie aus

Die allgemeine Formel für die Funktion ist folgendermaßen: (“y ist gleich Logarithmus von x zur Basis b)

Die Exponentialfunktion ist die Umkehrfunktion.

Eigenschaften

Die Logarithmusfunktion der Form verläuft durch den Punkt P (1/0) und ausschließlich im ersten und vierten Quadranten

Definitions- und Wertebereich

Da Logarithmen nur für positive Werte definiert ist, entspricht der Definitionsbereich nur den positiv reellen Zahlen.

Der Wertebereich hingegen entspricht den gesamten reellen Zahlen.

Monotonie

Die Logarithmusfunktion ist streng monoton. Ob streng monoton fallend oder streng monoton steigend hängt von der Basis b ab.

Merke : 0<b<1 -> streng monoton fallend
b>1 streng monoton steigend

Zudem besitzt die Logarithmusfunktion eine einzige senkrechte Asymptote, welche mit der y-Achse übereinstimmt. Das heißt die y-Achse wird nicht geschnitten.

Darstellung

Hier siehst du einmal die Exponentialfunktion 10x in blau und die dazugehörige Umkehrfunktion in rot: Die Logarithmusfunktion lg(x).

Wie du siehst, verläuft die Logarithmusfunktion genau durch den Punkt P (1/0). Außerdem stellt d die y-Achse eine Asymptote dar.

In der folgenden Abbildung sind verschiedene Varianten der Logarithmusfunktion zu sehen.

Die Funktionen lg(x) und log2(x) verlaufen streng monoton steigend. Der Grund dafür ist die Basis. Diese ist in beiden Fällen < 1 und somit ist das Monotonieverhalten monoton steigend. Hingegen besitzt die Funktion log0,5(x) eine Basis > 1. Deswegen verläuft sie monton fallend.

Wie bei den Eigenschaften bereits besprochen, verlaufen all diese Funktionen durch den Punkt P(1/0). Dieser Punkt ist gleichzeitig auch die Nullstelle für die Funktionen.

Aufgaben für Logarithmen – So können sie lauten

Bestimme x der Exponentialgleichung

a) 2x = 32

b) 3x = 27

c) 49x = 7

Lösung

a) x = 5

b) x = 3

c) x = 0,5

Bestimme x der logarithmischen Gleichung

a) log4(x) = 3

b) logx(8) = 3

c) lg(100) = x

Lösung

a) x = 64

b) x = 2

c) x = 2

Vereinfache mithilfe der Logarithmen Regeln

a) log3(a) + log3(b)

b) ln(x³)

c) lg(a) – 3lg(b)

Lösung

a) log3(a*b)

b) 3*ln(x)

c) lg(a/3b)

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