Flächeninhalt berechnen

Flächeninhalt berechnen – alle Rechenwege im Überblick

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Du hast grad nicht mehr auf dem Schirm, was mit einer Fläche gemeint ist oder wie du den Flächeninhalt berechnen sollst? Wir zeigen es Dir Schritt für Schritt in diesem Artikel.

Flächeninhalt Dreieck? Kein Problem!  Hier erfährst du die Formeln und Vorgehensweise für alle wichtigen geometrischen Figuren wie Quadrat, Rechteck, Kreis und co.

Legen wir direkt los!

Fangen wir am besten mal ganz am Anfang an und stellen uns erstmal die Fragen, was eine Fläche überhaupt ist. Mit einer Fläche ist grundsätzlich ein Gebilde gemeint, das sich über eine Länge und eine Breite erstreckt.

Was ist eine Fläche

Dieser Bereich kann etwa in der Natur oder  in der Stadt sein (z.B. ein Grundstück, auf dem ein Haus gebaut wird). Auch ein Blatt Papier oder ein Brett haben eine Fläche.

Eigenschaften:

  • Eine Fläche kann flach oder gekrümmt sein, wie zum Beispiel die Oberfläche einer Kugel
  • Eine Fläche ist immer zweidimensional, da es nur um die Breite und Länge geht. Kommt eine Höhe hinzu, ist die Rede von einem Raum, also einer dritten Dimension.”

Die Formeln der Flächenberechnung im Überblick!

Falls du dich schon mit Flächeninhalten auskennst und nur nochmal eine Formel nachschauen wolltest, haben wir hier die wichtigsten einmal für dich zusammengefasst.

\displaystyle A = a⋅a=a^2

\displaystyle A = a⋅b

\displaystyle A = \frac{1}{2}⋅ g⋅h oder \displaystyle A = \frac{g⋅h}{2}

\displaystyle A = \frac{1}{2} ⋅a⋅b

\displaystyle A = \frac{1}{4} ⋅c⋅ \sqrt {4⋅a^2-c^2} 

\displaystyle A = \frac{1}{4} ⋅a^2⋅ \sqrt{3}

\displaystyle A = \frac{(a+c)⋅h}{2} oder \displaystyle A = \frac{1}{2} ⋅(a+c)⋅h

\displaystyle A = a⋅h_a

\displaystyle A = a⋅h_a

  1. Zusammengesetzte Fläche in bekannte Flächen einteilen
  2. Flächeninhalt dieser mit den bekannten Formeln berechnen
  3. Berechnete Flächeninhalte addieren

Flächenberechnung – Wie berechnet man den Flächeninhalt geometrischer Figuren?

Nachdem wir Dir kurz erklärt haben, was der Flächeninhalt ist, möchten wir Dir in den nachfolgenden Abschnitten 7 bekannte geometrische Figuren, ihre Eigenschaften sowie die dazugehörige Formel zur Berechnung des Flächeninhalts vorstellen.

Denn jede einzelne Figur hat ihre eigene Formel, mit der du den Flächeninhalt einfach berechnen kannst.

Flächeninhalt Quadrat

“ Das Quadrat ist ein Rechteck mit vier gleich langen Seiten.”

Eigenschaften Quadrat 

Seiten:

Alle vier Seiten “a” sind gleich lang.

Winkel:

α = β = γ = δ = 90°

Winkelsumme:

(α + β + γ + δ) beträgt 360°

Flächeninhalt geometrischer Figuren Eigenschaften

Flächeninhalt Quadrat

Formel: \displaystyle A = a⋅a=a^2

Flächeninhalt Rechteck

“Das Rechteck ist, mit seinen vier rechten Winkeln, ein Viereck.”

Eigenschaften Rechteck

Seiten:

Die jeweils Gegenüberliegenden Seiten sind parallel und gleich lang.
→ parallel (a ‖ c) und (b ‖ d)
→ gleich lang (a = c) und (b = d)

Winkel:

α = β = γ = δ = 90°

Winkelsumme:

(α + β + γ + δ) beträgt 360°

Flächeninhalt geometrischer Figuren Eigenschaften

Flächeninhalt Rechteck berechnen

Formel: \displaystyle A = a⋅b

Die Herleitung der Formel haben wir bereits einfach und verständlich erklärt.

Flächeninhalt Dreieck

“Jedes Dreieck hat drei Seiten und drei Winkel.”

Allgemeines Dreieck

Allgemeines Dreieck

Seiten:

Hat drei Seiten (a, b, c).

Winkelsumme:

(α + β + γ) beträgt 180°

Flächeninhalt geometrischer Figuren Eigenschaften

Flächeninhalt allgemeines Dreieck

Flächeninhalt Dreieck Formel: \displaystyle A = \frac{1}{2}⋅ g⋅h oder \displaystyle A = \frac{g⋅h}{2}

Rechtwinkliges Dreieck

Rechtwinkliges Dreieck

Seiten:

Hat drei Seiten (a, b, c).

Winkel:

α + β = 90°    γ = 90°

Winkelsumme:

(α + β + γ) beträgt 180°

Flächeninhalt geometrischer Figuren Eigenschaften

Flächeninhalt rechtwinkliges Dreieck

Formel: \displaystyle A = \frac{1}{2} ⋅a⋅b

Gleichschenkliges Dreieck

Gleichschenkliges Dreieck

Seiten:

Hat drei Seiten (a, b, c).
→ a = b
→ α = β

Winkelsumme:

(α + β + γ) beträgt 180°

Flächeninhalt geometrischer Figuren Eigenschaften

Flächeninhalt gleichschenkliges Dreieck

Formel: \displaystyle A = \frac{1}{4} ⋅c⋅ \sqrt {4⋅a^2-c^2} 

Gleichseitiges Dreieck

Gleichseitiges Dreieck

Seiten:

Hat drei Seiten (a, b, c).
→ a = b = c

Winkel:

α = β = γ = 60°

Winkelsumme:

(α + β + γ) beträgt 180°

Flächeninhalt geometrischer Figuren Eigenschaften

Flächeninhalt gleichseitiges Dreieck

Formel: \displaystyle A = \frac{1}{4} ⋅a^2⋅ \sqrt{3}

Weitere Formeln rund ums Dreieck sowie Übungsaufgaben mit Lösungen findest du in unserem Artikel Dreieck berechnen.

Flächeninhalt Trapez

“Das Trapez ist, mit einem Paar paralleler Seiten, ein Viereck.”

Eigenschaften Trapez

Seiten:

Ein Trapez hat zwei parallele Seiten (a ‖ c).
Beide parallelen Seiten heißen Grundseiten (Schaubild: a und c).
Die längere Grundseite (Schaubild: a) wird auf Basis genannt.
Die anderen zwei Seiten heißen Schenkel (Schaubild: b und d).

Höhe h:

Die Höhe entspricht dem Abstand der beiden parallelen Seiten (a ‖ c).

Winkel:

α + δ = 180°
β + γ = 180°

Winkelsumme:

(α + β + γ + δ) beträgt 360°

Flächeninhalt geometrischer Figuren Eigenschaften
Trapez

Flächeninhalt Trapez

Flächeninhalt Trapez Formel: \displaystyle A = \frac{(a+c)⋅h}{2} oder \displaystyle A = \frac{1}{2} ⋅(a+c)⋅h

Flächeninhalt Parallelogramm

“Das Parallelogramm, ist ein Viereck, bei dem je zwei gegenüberliegende Seiten parallel sind.”

Eigenschaften Parallelogramm 

Seiten:

Die Gegenüberliegenden Seiten sind parallel und gleich lang.
→ parallel (a ‖ c) und (b ‖ d)
→ gleich lang (a = c) und (b = d)

Höhe h:

Der Abstand der parallelen Seiten, entspricht der Höhe des Parallelogramms.
→ Abstand zwischen a und c = ha oder hc
→ Abstand zwischen b und d = hb oder hd

Winkel:

Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
→ α = γ und β = δ

Winkelsumme:

(α + β + γ + δ) beträgt 360°

Flächeninhalt geometrischer Figuren Eigenschaften
Parallelogramm

Flächeninhalt Parallelogramm 

Formel: \displaystyle A = a⋅h_a

Flächeninhalt Raute

“Die Raute oder auch Rhombus genannt, ist mit vier gleich langen Seiten, ein Parallelogramm.”

Eigenschaften Raute

Seiten:

Mit vier gleich langen Seiten, ist die Raute ein Parallelogramm.
→ alle Seiten gleich lang (a = b = c = d)
→ gegenüberliegende Seiten parallel (a = c) und (b = d)

Höhe h:

Die Höhe entspricht dem Abstand der parallelen Seiten.
→ ha = hb = hc = hd

Winkel:

Die gegenüberliegenden Winkel sind gleich groß (α = γ) und (β = δ). 

Winkelsumme:

(α + β + γ + δ) beträgt 360°

Flächeninhalt geometrischer Figuren Eigenschaften
Raute

Flächeninhalt Raute

Formel: \displaystyle A = a⋅h_a

Flächeninhalt Kreis

“Der Kreis ist eine Figur, bei dem alle Punkte vom Mittelpunkt M, stets den gleichen Abstand haben.”

Eigenschaften Kreis

Bezeichnungen:

M = Mittelpunkt
→ Ist die Mitte des Kreises.
→ Ein Punkt, von dem alle Punkte des Kreises den gleichen Abstand haben.

r = Radius
→ Ist der Abstand vom Mittelpunkt zu einem Punkt der Kreislinie.

d = Durchmesser
→ Ist der Größtmögliche Abstand zweier Punkte der Kreislinie.

Radius r:

Der Radius ist halb so lang wie der Durchmesser.
→ r = 1/2 * d

Durchmesser d:

Der Durchmesser ist doppelt so lang wie der Radius.
→ d = 2 * r

Flächeninhalt geometrischer Figuren Eigenschaften
Kreis

Flächeninhalt Kreis berechnen

Formel: \displaystyle A = \pi ⋅r^2

Zusammengesetzte Flächen – Wie soll ich das denn berechnen?

Du weißt jetzt wie man den Flächeninhalt jeder geometrischen Figur berechnet, die so im Matheunterricht vorkommt.

Aber was ist denn, wenn plötzlich so eine Form in der Mathearbeit ist?

Ruhe bewahren und nicht verzweifeln! Eigentlich siehst du hier nichts anderes als, die Formen, die du schon kennengelernt hast.

Um den Flächeninhalt von so einer zusammengesetzten Form zu berechnen, musst du diese nur in kleinere, dir bekannte Formen aufteilen.

Im Anschluss berechnest du dann die einzelnen Flächeninhalte wie gerade gelernt. Um den gesamten Flächeninhalte der zusammengesetzten Form zu berechnen musst du deine einzelnen Ergebnisse dann nur noch addieren.

Merke: Zusammengesetzte Flächen lassen sich berechnen, indem du sie in einzelne, bekannte Flächen zerlegst und die Flächeninhalte dieser berechnest. Wenn du die einzelnen Flächeninhalte addierst erhältst du den Flächeninhalt der zusammengesetzten Fläche.

Flächeninhalt und Umfang – ein großer Unterschied

Flächeninhalt

Umfang

Die Fläche berechnet sich meist aus Länge mal Breite.

z.B.: Für die Fläche eines Gartens nimmst du gewöhnlich Länge mal Breite, damit herausfinden kannst, wie viel Quadratmeter Saat du bestellen musst.

Für den Umfang zählst Du alle Seiten, der Figur, zusammen.
(Umfang = Summe aller Seiten)

z.B.: Für den Umfang eines Garten, rennst Du einmal um den Garten herum und weißt dann, wie viel Meter an Zaun Du kaufen müsstest.

Das Maß für die bestimmte Fläche ist immer Quadratzentimeter, Quadratmeter, usw.

Das Maß für den Umfang ist immer Zentimeter, Meter, usw.
→ Normales Längenmaß

Stell dir als Beispiel einen Garten vor: Mit dem Flächeninhalt ist gemeint, wie viel Rasenfläche dein Garten hat. Der Umfang sagt dir dann wie viel Zaun du bräuchtest, um deinen Garten komplett umzäunen zu können.

Flächeninhalt und Umfang Unterschied

Flächeninhalt berechnen – FAQ

Was ist die Formel vom Flächeninhalt?

Die Formel vom Flächeninhalt ist bei jeder (geometrischen) Figur unterschiedlich. Hier sind die Formeln für die bekanntesten geometrischen Figuren:

  • Rechteck: A=a*b
  • Raute: A=aha
  • Parallelogramm: A=aha
  • Trapez: 0,5(a+c)h
  • Dreieck: 0,5gh
  • Quadrat: a²

Was ist Flächeninhalt und Umfang?

Der Flächeninhalt, ist ein Maß für eine Größe einer Fläche von einer bestimmten Figur. Und der Umfang (einer Figur) ist die Summe aller Seitenlängen, damit ist die Länge der Begrenzungslinie gemeint.

Wie berechnet man Flächeninhalt und Umfang?

Die Berechnungen des Flächeninhaltes und des Umfanges variieren bei jeder (geometrischen) Figur.

Beispiel: Rechteck

  • Flächeninhalt Formel: A = a*b
  • Umfang Formel: U = 2*a + 2*B

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2 Kommentare zu „Flächeninhalt berechnen – alle Rechenwege im Überblick“

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