Dreieck - Darstellung

Dreieck berechnen – Rechenbeispiele für Flächeninhalt und Umfang

Ein Dreieck berechnen – wie funktioniert das überhaupt? Und was versteht man unter einem gleichschenkligen oder gleichseitigen Dreieck? Wir haben die wichtigsten Infos rund um das Dreieck für dich zusammengefasst und zeigen dir anhand von Beispielen, wie du spielend leicht Umfang und Flächeninhalt berechnest!

Dreieck - Darstellung

Eckpunkte

Die drei Eckpunkte eines Dreiecks werden – üblicherweise entgegen des Uhrzeigersinns – mit den Großbuchstaben A, B und C gekennzeichnet.

Seiten

Alle Dreieck-Seiten werden nach ihren gegenüberliegenden Eckpunkten benannt und mit Kleinbuchstaben markiert: a, b und c. So liegt etwa die Seite c dem Punkt C gegenüber.

Innenwinkel

Die Innenwinkel werden mit den griechischen Buchstaben α (Alpha), β (Beta) und γ (Gamma) beschriftet. Alpha ist der Winkel am Eckpunkt A, Beta am Punkt B und Gamma am Punkt C.

Innenwinkelsatz: Die Innenwinkel eines Dreiecks bilden immer die Summe 180°:

α + β + γ = 180°

Warum können Piraten keinen Kreis berechnen? – Weil sie Pi raten!

Was ist ein rechtwinkliges Dreieck?

Ein rechtwinkliges Dreieck besitzt einen rechten Winkel, also einen Winkel, der genau 90° groß ist.

Folgendes solltest du zum rechtwinkligen Dreieck wissen:

  • Die längste Seite wird Hypotenuse genannt. Sie liegt gegenüber des rechten Winkels.
  • Die übrigen Seiten werden als Katheten bezeichnet. Sie sind also die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden.
  • Für die Flächenberechnung eines rechtwinkligen Dreiecks wird eine andere Formel als bei anderen Dreiecken verwendet. Mehr dazu erfährst du in den nächsten Abschnitten.
Rechtwinkliges Dreieck - Darstellung

Seitenverhältnis im Dreieck

Die Seitenlängen können in unterschiedlichem Verhältnis zueinander stehen. Daraus lassen sich verschiedene Dreiecks-Arten ableiten.

Ungleichseitiges Dreieck

Bei einem ungleichseitigen Dreieck sind alle Seiten unterschiedlich lang. Auch die Innenwinkel sind unterschiedlich groß:

a ≠ b ≠ c
α ≠β ≠ γ

Dreieck - Darstellung

Gleichseitiges Dreieck

Ein Dreieck, bei dem alle Seiten gleich lang sind, wird gleichseitiges Dreieck genannt. Auch die Innenwinkel sind bei dieser Dreieck-Art gleich groß, sie betragen 60°.

a = b = c
α = β = γ = 60°

Gleichseitiges Dreieck - Darstellung

Gleichschenkliges Dreieck

Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten gleich lang. Diese beiden Seiten werden a und b genannt und als Schenkel des Dreiecks bezeichnet. Auch zwei Winkel haben dadurch diesselbe Größe (hier α und β). Es gilt also:

a = b ≠ c
α = β ≠ γ

Gleichschenkliges Dreieck - Darstellung

Umfang Dreieck

Die Berechnung des Umfangs U eines Dreiecks ist ganz simpel und für alle Dreiecksarten gleich. Du addierst hierfür einfach die einzelnen Seitenlängen:

U = a + b + c

U = Umfang
a = Seite a
b = Seite b
c = Seite c

Beispiel: Umfang Dreieck berechnen

Ein Dreieck hat die Seitenlängen a = 5 cm, b = 7 cm und c = 10 cm. Gesucht wird der Umfang des Dreiecks.

U = a + b + b
U = 5 cm + 7 cm + 10 cm
U = 22 cm

Der Umfang des Dreiecks beträgt 22 cm.

Probiere es selbst aus und bearbeite die folgenden Übungsaufgaben! Wenn du nicht weiterkommst, haben wir natürlich auch die Lösung parat.

Berechne den Umfang eines Dreiecks, das die Seitenlängen a = 11 cm, b = 4,5 cm und c = 9 cm hat.

Wir haben die Seitenlängen alle gegeben. Somit können wir sie einfach in die Formel einsetzen:

U = a + b + c
U = 11 cm + 4,5 cm + 9 cm
U =24,5 cm

Der Umfang des Dreiecks beträgt 24,5 cm.

Ein gleichseitiges Dreieck hat die Seitenlänge c = 5 cm. Berechne seinen Umfang!

Wir wissen, dass das Dreieck gleichseitig ist. Das heißt, alle Seiten haben dieselbe Länge:

a = b = c = 5 cm
U = a + b + c
U = 5 cm + 5 m + 5 cm
U = 15 cm

Der Umfang des Dreiecks beträgt 15 cm.

Das Dreieck ist gleichschenklig und hat einen Umfang von 20 cm. Die Seite c ist 5 cm lang. Berechne die Länge der Schenkel a und b!

Da das Dreieck gleichschenklig ist, sind die Seiten bzw. Schenkel a und b gleich lang:

a = b

Daher können wir b in der Formel durch a ersetzen und lösen die Formel nach a auf:

U = a + a + c
20 cm = a + a + 5 cm
20 cm – 5 cm = a + a
15 cm = 2 · a
7,5 cm = a = b

Die Schenkel a und b haben beide eine Länge von 7,5 cm.

Fläche Dreieck

Zur Berechnung des Flächeninhalts gilt die Formel

A = ½ · g · h

A = Flächeninhalt Dreieck
g = Grundseite
h = Höhe der Grundseite

g und h müssen vor der Berechnung in der gleichen Maßeinheit vorliegen!

Dreieck Fläche berechnen - Darstellung

Der Rechenweg wird in den beiden oberen Abbildungen veranschaulicht. Links siehst du ein Dreieck mit den Seitenlängen a, b und c. Außerdem ist die Höhe von c (= hc) eingezeichnet.

Die Höhe einer Seite ist ein Lot, also eine senkrechte Linie, die die Seite mit dem gegenüberliegenden Eckpunkt verbindet. Jede Dreieck-Seite besitzt solch ein Lot.

Klick auf den folgenden Tab, wenn du die Herleitung der Flächenformeln genauer verstehen möchtest.

Wie du in den Abbildungen siehst, wird das Dreieck durch das Einzeichnen der Höhe von c in zwei rechtwinklige Dreiecke geteilt. Ergänzt man diese Dreiecke um zwei kongruente (= deckungsgleiche) Dreiecke (Abbildung rechts), erhält man ein Rechteck.

Nun wird klar, dass man die Fläche eines Rechtecks berechnet und dieses Ergebnis durch zwei teilt. Das Rechteck hat in diesem Fall die Seitenlängen c (= Grundfläche) und hc (= Höhe der Grundfläche):

A (Rechteck) = c · hc = g · h      → daraus folgt
A (Dreieck) = ½ · g · h

A (Rechteck) = Flächeninhalt Rechtecks
A (Dreieck) = Flächeninhalt Dreieck
g = Grundseite
h = Höhe der Grundseite

Alternativ ist es natürlich auch möglich, eine andere Seite des Dreiecks als Grundseite zu nehmen und ihre Höhe einzuzeichnen.

Achte darauf, dass die Höhe immer im rechten Winkel auf ihrer Grundseite stehen muss!

Flächeninhalt rechtwinkliges Dreieck – ein Sonderfall

Noch einfacher ist die Flächenberechnung bei einem rechtwinkligen Dreieck. 

Links siehst du ein Dreiecks, dessen Winkel γ = 90 ° ist.

Wie du merkst, kann man das Dreieck verdoppeln, wodurch ein Rechteck entsteht (siehe rechte Abbildung).

Flächeninhalt rechtwinkliges Dreieck - Darstellung

Um den Flächeninhalt des Dreiecks zu berechnen, brauchst du also einfach den Flächeninhalt des Rechtecks durch 2 zu teilen:

A = ½ · a · b

A = Flächeninhalt Dreieck
a = Seite a
b = Seite b

a und b stehen für die beiden Seiten des Dreiecks, die den rechten Winkel bilden

Flächeninhalt Dreieck berechnen

Schauen wir uns den Rechenweg an einem Beispiel an.

Beispiel: Fläche Dreieck berechnen

Ein Dreieck hat die Seitenlänge c = 9 cm. Die Seitenhöhe von c (= hc) beträgt 5 cm. Wie groß ist die Fläche des Dreiecks?

Wir haben die Länge der Grundseite c (= 9 cm) und ihre Höhe (= 5 cm) gegeben. Diese Werte setzen wir in die Formel ein:

A = ½ · g · h
A = ½ · 9 cm · 5 cm
A = ½ · 45 cm²
A = 22,5 cm²

Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt 22,5 cm².

Achte darauf, dass der Flächeninhalt immer im Quadrat (z.B. cm²) stehen muss.

Nun bist du an der Reihe! Wende die Flächenformeln in den folgenden Übungsaufgaben an.

Die Seite a eines Dreiecks besitzt eine Länge von 7 cm. Die Seitenhöhe von a (= ha) beträgt 3 cm. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.

In diesem Beispiel nehmen wir zur Berechnung die Seite a als Grundseite g. Wir setzen die Werte in die Flächenformel ein:

A = ½ · g · h
A = ½ · 7 cm · 3 cm
A = ½ · 21 cm²
A = 10,5 cm²

Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von 10,5 cm².

Du hast ein Dreieck vorliegen, das die Seitenlängen a = 5 cm, b = 10 cm und c = 7 cm hat. Zusätzlich ist die Seitenhöhe von b bekannt, sie beträgt 3 cm. Berechne die Fläche des Dreiecks.

Zwar haben wir alle Seitenlängen gegeben, wir brauchen aber nur die Länge der Grundseite zur Berechnung. Da wir die Seitenhöhe von b kennen, nehmen wir Seite b als Grundseite.

A = ½ · g · h
A = ½ · 10 cm · 3 cm
A = ½ · 30 cm²
A = 15 cm²

Das Dreieck besitzt einen Flächeninhalt von 15 cm².

Die beiden Katheten eines rechtwinkligen Dreieck haben die Seitenlängen a = 15 mm und b = 4 cm. Berechne die Fläche des Dreiecks.

Die beiden Katheten bilden bei einem rechtwinkligen Dreieck den rechten Winkel. Somit haben wir alle Werte, die wir für die Berechnung des Flächeninhalts benötigen.

Achtung: Da die Maßeinheiten bei beiden Seiten unterschiedlich sind, rechnen wir zunächst die Länge von Seite a von Millimeter in Zentimeter um. Wir verwenden die Flächenformel für rechtwinklige Dreiecke:

a = 15 mm = 1,5 cm
b = 4 cm

A = ½ · a · b
A = ½ · 1,5 cm · 4 cm
A = ½ · 6 cm²
A = 3 cm²

Die Fläche des Dreiecks ist 3 cm² groß.

Formel umstellen

Natürlich kannst du die Flächenformeln auch umstellen, um z.B. eine Seitenhöhe oder eine Seitenlänge auszurechnen.

A = ½ · g · h, dementsprechend gilt:

g = (A · 2) / h
h = (A · 2) / g

Für rechtwinklige Dreiecke:

A = ½ · g · h, daraus folgt:

a = (A · 2) / b
b = (A · 2) / a

Dreieck berechnen – FAQ

Das Wichtigste in Kürze: Eure meistgestellten Fragen habe wir hier zusammengetragen. Klick einfach auf das +, um die Antwort zu sehen.

Wie viel Grad hat ein Dreieck?

Die Summe der Innenwinkel beträgt bei jedem Dreieck 180°.

Was ist ein gleichschenkliges Dreieck?

Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten gleich lang. Diese beiden Seiten werden als Schenkel bezeichnet.

Was ist ein gleichseitiges Dreieck?

Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten gleich lang (a = b = c). Dementsprechend sind auch alle Innenwinkel gleich groß, sie betragen allesamt 60° (α = β = γ = 60°)

Was ist ein rechtwinkliges Dreieck?

Ein rechtwinkliges Dreieck besitzt einen rechten Winkel, der also genau 90° groß ist.

Wie berechnet man ein Dreieck?

Für die Berechnung des Umfangs eines Dreiecks benötigst du die drei Seitenlängen. Die Formel lautet:

U = a + b + b


Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnest du mit einer Grundseite (g) und der dazugehörigen Höhe (h):

A = ½ · g · h


Für den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks gilt eine gesonderte Formel:

A = ½ · a · b

(a und b  = die Seiten, die den rechten Winkel bilden)

In der folgenden Box haben wir für dich die grundlegenden Formeln zur Kreisberechnung noch einmal zusammengefasst.

Dreieck: Formeln

Umfang: U = a + b + c

Flächeninhalt: A = ½ · g · h

Flächeninhalt rechtwinkliges Dreieck: A = ½ · a · b

Schnell & Easy Unterstützung für Mathe Gesucht?

Du findest hier kompetente studentische Nachhilfelehrer*innen, die du kostenlos und unverbindlich anfragen kannst – egal ob für den Unterricht bei dir zu Hause oder Online:

Wir helfen dir weiter – garantiert 🙂 !

Kommentar verfassen

Deine E-Mail-Adresse wird nicht veröffentlicht.