Lineare Gleichung - Beispiel

Lineare Gleichungen verstehen und lösen – in 10 Minuten einfach erklärt

Lineare Gleichungen bzw. Lineare Funktionen begleiten dich in einem Großteil des Matheunterrichts in der Schule. Deshalb ist es wichtig, diese Funktionsart zu verstehen und anwenden zu können. In diesem Artikel lernst du genau das mit der Hilfe von Erklärungen und Abbildungen.

Lineare Gleichungen kann man auch Gleichungen ersten Grades nennen, weil die Variabel nur in der ersten Potenz vorkommt. Wenn diese Variabel x ist, heißt das, dass es keine Teile mit x², x³ und so weiter gibt, sondern nur x.

Beispiele:

f(x) = 3x + 5

g(x) = 2x – 4

Wenn du lineare Funktionen zeichnest, erhältst du eine gerade Linie.

Lineare Funktionen – Formel in 2 Schritten erklärt

Lineare Gleichungen Formel - Steigung und Achsenabschnitt
Formel lineare Funktionen

Die allgemeine Formel für lineare Gleichungen lautet f(x) = mx + b.

  1. Das b beschreibt den y-Achsenabschnitt. Das ist also der Punkt, an dem die lineare Funktion die y-Achse schneidet.
  2. Die Steigung steht in m. Dadurch wird erklärt, wie flach oder steil eine Funktion verläuft. Wenn das m positiv ist, steigt die Funktion an und wenn das m negativ ist, fällt sie.
Lineare Funktion Steigung
Beispiele für lineare Funktionen

Lineare Funktionen – Steigung ganz einfach bestimmen

Nun weißt du schon, was die Steigung ist und wo du sie in der Formel findest. Vielleicht fragst du dich aber, wie du aus einer Zeichnung die Steigung bestimmst. Dazu brauchst du ein sogenanntes Steigungsdreieck.

Lineare Funktion - Steigungsdreieck
Steigungsdreieck

Du wählst also 2 Punkte auf der Geraden aus und zeichnest das Dreieck an diese Punkte dran. Dann schaust du wie lang die beiden Seiten des Dreiecks sind, die du gerade an die Funktion dran gezeichnet hast. Dann teilst du die Länge der senkrechten Linie durch die Länge der waagerechten Linie.

Beispiel: 3/1 = 3

Die Steigung ist also 3.

Lineare Funktionen – Berechnen der Steigung

Mit den beiden Punkten die du auf der Geraden ausgesucht hast, kannst du die Steigung auch berechnen. Punkt 1 ist (0/1), somit ist \displaystyle x_1=0 und \displaystyle y_1=1. Der zweite Punkt den wir ausgesucht hatten ist (1/4). Deshalb ist \displaystyle x_2=1 und \displaystyle y_2=4.

Nun rechnest du \displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.

Wenn du jetzt die Werte einsetzt erhältst du \displaystyle \frac{4-1}{1-0}=3.

m = \displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

Lineare Funktionen zeichnen

Lineare Funktionen Steigung
Lineare Funktionen zeichnen

Gegeben ist die Funktion f(x) = 2x – 1. Der y-Achsenabschnitt ist -1. Somit markierst du den Punkt (-1/0) auf der y-Achse. Von dort gehst du 1 nach rechts und 2 nach oben, weil die Steigung positiv ist. Wäre die Steigung negativ, würdest du 2 nach unten gehen.

Merke: Immer wenn vor dem x kein Bruch steht, kannst du dir die Zahl als Bruch denken, denn \displaystyle \frac{2}{1} = 2. Der Zähler ist die Länge der senkrechten Linie des Steigungsdreiecks und der Nenner ist die Länge der waagerechten Linie.

Lineare Funktionen – Nullstellen bestimmen im Handumdrehen

Nullstellen sind die Schnittpunkte einer Funktion mit der x-Achse. Lineare Funktionen haben meistens genau eine Nullstelle. Ausnahmen sind lineare Gleichungen mit m=0. Diese Gleichungen sind waagerecht und haben keine Nullstellen oder unendlich viele, wenn b=0. Dies liegt daran, dass die Funktion f(x) = 0x+0 auf der x-Achse liegt.

Lineare Funktion - Nullstellen bestimmen
Nullstellen einer linearen Funktion

Um nun die Nullstelle zu berechnen, setzt du die Funktion gleich Null:

-2x+4 = 0

Dies löst du nach x auf:

-2x+4 = 0    | -4

⇔ -2x = -4  | : (-2)

⇔ x = 2

Die Nullstelle ist (2/0).

Lineare Gleichungen – Aufgaben zum Üben

Jetzt hast du das Wichtigste zum Thema ‘Lineare Gleichungen’ gelernt. Damit du dein Wissen verfestigen kann, findest du hier direkt Übungen.

Stelle die lineare Gleichung auf.

a) Eine lineare Funktion hat die Steigung 4 und der y-Achsenabschnitt liegt bei -3.

b) Die Steigung beträgt -6 und die Funktion schneidet die y-Achse bei 4.

c) Eine Funktion hat den x-Achsenabschnitt 1 und verläuft durch die Punkte A (0/1) und B (1/6).

d) Die Funktion verläuft durch A (1/1) und B (2/2). Der y-Achsenabschnitt befindet sich im Ursprung.

a) Eine lineare Funktion hat die Steigung 4 und der y-Achsenabschnitt liegt bei -3.

f(x) = 4x -3

b) Die Steigung beträgt -6 und die Funktion schneidet die y-Achse bei 4.

f(x) = -6x+4

c) Eine Funktion hat den x-Achsenabschnitt 1 und verläuft durch die Punkte A (0/1) und B (1/6).

m = \displaystyle \frac{6-1}{1-0}=5

f(x) = 5x +1

d) Die Funktion verläuft durch A (1/1) und B (2/2). Der y-Achsenabschnitt befindet sich im Ursprung.

\displaystyle \frac{2-1}{2-1}=1

f(x) = 1x +0

Berechne die Steigung mit 2 Punkten, die auf der Gerade liegen.

a) A(0/2) B(1/-3)

b) A(2/1) B(3/0)

c) A(0/-2) B(1/-5)

a) A(0/2) B(1/-3)

m= \displaystyle \frac{(-3)-2}{1-0}=-5

b) A(2/1) B(3/0)

m= \displaystyle \frac{0-1}{3-2}=-1

c) A(0/-2) B(1/-5)

m= \displaystyle \frac{(-5)-(-2)}{1-0}=-3

Bestimme die Nullstellen.

a) f(x) = 2x -8

b) f(x) = 0,5x +2

c) f(x) = 4x – 1

d) f(x) = 5,5x -11

a) f(x) = 2x -8

x = 4

b) f(x) = 0,5x +2

x = -4

c) f(x) = 4x – 1

x = 0,25

d) f(x) = 5,5x -11

x = 2

Lineare Gleichungen – FAQ

Was ist eine lineare Funktion?

Bei linearen Funktionen kommt die Variabel nur in der ersten Potenz vor. Wenn du lineare Funktionen zeichnest, bekommst du eine Gerade.

Wie berechnet man die Steigung m?

m = \displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

Wie kann man die Steigung ablesen?

Die Steigung kann man mit einem Steigungsdreieck ablesen.

Welche linearen Funktionen haben keine Nullstellen?

Wenn die Funktion waagerecht verläuft und die Steigung also Null ist, hat die lineare Funktion keine Nullstellen.

Lineare Funktionen - Was ist m?

Das m ist die Steigung der Funktion.

Lineare Funktionen - Was ist b?

Das b beschreibt den y- Achsenabschnitt.

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Wenn du noch Fragen zu anderen Mathethemen hast, kannst du dich ja mal bei uns auf der Seite umschauen. Wir haben alles von Nullstellen berechnen bis zu absoluten und relativen Häufigkeiten.

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