Wahrscheinlichkeit

Baumdiagramme erstellen und richtig berechnen – so geht’s

Du musst im Matheunterricht ein Baumdiagramm erstellen und die Wahrscheinlichkeiten ausrechen und weißt nicht wie das geht? Kurz und knapp haben wir es euch hier erklärt.

Was ist ein Baumdiagramm

Zuerst einmal möchten wir dir erklären, was genau überhaupt ein Baumdiagramm ist und wofür es gebraucht wird.

Das Baumdiagramm hilft dir, Wahrscheinlichkeiten bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment zu berechnen und auf den ersten Blick zu erkennen, welche Möglichkeiten passieren könnten.

Ein Baumdiagramm erstellen

Okay, nun weißt du ungefähr, was du mit einem Baumdiagramm errechnen sollst. Doch wie wird das nun richtig erstellt?

Zu allererst musst du dir bei deiner Aufgabe im Klaren sein, welche Wahrscheinlichkeiten du am Ende berechnet haben möchtest. Heißt konkret: Wie viele „Stufen“ oder auch Pfade genannt, dein Baumdiagramm braucht.

Beispiel:

In deiner Aufgabe geht es darum, wie oft du bei einem Münzwurf Kopf oder Zahl wirfst. Dafür sollst du dir Wahrscheinlichkeit berechnen, wenn du die Münze insgesamt 2 Mal wirfst. Das bedeutet, dass du insgesamt 2 Stufen in deinem Baumdiagramm hast.

Baumdiagramm Struktur
Baumdiagramm in seiner Grundstruktur

Nun geht es an die richtige Beschriftung, denn ohne die fehlt dir ein wichtiger Teil beim Baumdiagramm!

 

 

Wie du hier in der Zeichnung sehen kannst, werden die jeweiligen „Enden“ der Pfade mit einem oder auch zwei Buchstaben beschrieben, damit jeder weiß, um welche Wahrscheinlichkeit es sich bei dem Pfad handelt.

Baumdiagramm Münzwurf
Baumdiagramm mit Beschriftung am Beispiel Münzwurf

Wenn du dir den oberen ersten Pfad anschaut, steht an dessen Ende ein „K“, war bedeutet, dass dieser Pfad die Wahrscheinlichkeit zeigt, dass du beim ersten Wurf „Kopf“ geworfen hast. Der Pfad direkt darunter zeigt dementsprechend die Wahrscheinlichkeit, dass du beim ersten Wurf „Zahl“ geworfen hast.

Am Ende der nächsten 4 Pfade findest du nun jeweils zwei Buchstaben, wie ganz oben beispielsweise „KK“. Dieser Pfad zeigt dir die Wahrscheinlichkeit an, dass auch der 2. WurfKopf“ anzeigt. Genauso verhält es sich bei dem Pfad „ZZ“, wo wieder „Zahl“ geworfen wurde.

Doch dazwischen hast du noch zwei weitere Pfade, an deren Ende „KZ“, bzw. „ZK“ stehen. Diese beiden Pfade geben die Wahrscheinlichkeiten an, dass du nachKopf“ „Zahl“ wirfst oder zuerstZahl“ und dann „Kopf“ wirfst.

Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Pfades

Nun weißt du, wie ein Baumdiagramm gezeichnet und beschriftet wird. Doch wie genau wird nun die Wahrscheinlichkeit eines Pfades errechnet?

Die ersten beiden Pfade „K“ und „Z“ zeigen ja die Wahrscheinlichkeit, dass du beim ersten Wurf entweder „Kopf“ oder „Zahl“ wirfst. Da beim ersten Wurf nur eine der beiden Seiten oben liegen kann, besteht hier eine 50%ige Chance, dass es „Kopf“ wird. „Zahl“ hat also auch eine 50%ige Chance, oben zu landen.

K = 1/2 oder 50% Z = 1/2 oder 50%

Baumdiagramm Münzwurf Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeiten auf dem ersten Pfad

 

Bei den hinteren 4 Pfaden hat jeder Pfad ebenfalls eine 50% Prozentige Chance, der „richtige“ Pfad zu sein, also, dass diese Kombination geworfen wurde. Wenn du nun beim ersten Mal „Kopf“ geworfen hast, kannst du nun wieder „Kopf“ oder „Zahl“ werfen, daher haben beide Seiten wieder die gleiche Chance, geworfen zu werden.

Baumdiagramm Münzwurf alle Wahrscheinlichkeiten
Auf allen Pfaden stehen Wahrscheinlichkeiten

Die Baumdiagramm Pfadregeln – welche gibt’s?

Beim Berechnen der Wahrscheinlichkeiten, die nicht auf dem Pfad stehen, sondern hinter dem letzten Pfad in einem Baumdiagramm, musst du zwei Regeln beachten, die wir dir jetzt vorstellen möchten.

Die Produktregel im Baumdiagramm

Die Produktregel wendest du an, wenn du mehrere Pfade zusammenrechnen musst, die direkt hintereinander liegen. Dabei musst du die Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Pfade miteinander multiplizieren.

Beispiel:

Nehmen wir noch einmal das Beispiel von eben mit dem Münzwurf.

Hier gehst du den Pfad „Kopf“ entlang und dann den Pfad „KK“, also hast du insgesamt 2 MalKopf“ geworfen.  

Baumdiagramm Münzwurf Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeiten stehen auf allen Pfaden

 

 

Damit du nun die Wahrscheinlichkeit am Ende des Pfades berechnen kannst, musst du die beiden einzelnen Wahrscheinlichkeiten, also die beiden 0,5 (50%) miteinander multiplizieren. 0,5 * 0,5 = 0,25

Baumdiagramm Münzwurf Endwahrscheinlichkeiten
Baumdiagramm mit den Endwahrscheinlichkeiten

Diese 0,25 oder 25% zeigen dir, dass es eine 25%ige Chance gibt, dass du gleich 2 MalKopf“ hintereinander wirfst.

So fährst du nun mit allen Pfaden fort, sodass du am Ende dieses Ergebnis erhältst.

Die Summenregel im Baumdiagramm

Die Summenregel ermöglicht dir, mehrere verschiedene Wahrscheinlichkeiten, die am Ende der beiden Pfade stehen, zusammenzurechnen, also zu addieren. Dabei gehst du zuerst wie bei der Produktregel vor, multiplizierst also die beiden hintereinander liegenden Pfade.

Beispiel:

Du errechnest die Wahrscheinlichkeit der Kombination „Z“ und „ZK“ und kommst auf die Endwahrscheinlichkeit von 25%. Nun möchtest du diese Wahrscheinlichkeit mit der Pfadkombination „K“ und „KZ“ addieren, da beide zeigen, dass jeweils ein Mal Kopf und ein Mal Zahl geworfen wurde.

Baumdiagramm Wahrscheinlichkeiten zusammengerechnet
Zusammengerechnete Endwahrscheinlichkeiten

Daher errechnest du auch hier die Endwahrscheinlichkeit von 25% für den Weg „K“ und „KZ“.

Diese beiden Wahrscheinlichkeiten addierst du nun miteinander: 0,5 * 0,5 (Weg „Z“ und „ZK“) + 0,5 * 0,5 (Weg „K“ und „KZ“) = 0,5 –> 50%

Weitere Beispiele

Da es nicht nur Aufgaben in deinem Matheunterricht geben wird, in denen es um die Wahrscheinlichkeit bei einem Münzwurf geht, möchten wir dir hier noch zwei weitere Beispiele zeigen.

Beispiele mit Zurücklegen

Stell dir vor, du hast insgesamt 3 Kugeln, davon ist 1 blau und 2 sind rot.

Du ziehst eine rote Kugel und legst sie danach wieder zurück. Beim zweiten Ziehen erwischst du nun die blaue Kugel. Nun möchtest du gerne wissen, wie genau die Wahrscheinlichkeiten errechnet werden, richtig?

Zuerst musst du dir überlegen, wie viele Kugeln du insgesamt hast ( = 3 Kugeln), dann errechnest du die Wahrscheinlichkeit, dass sie rot ist.

Dabei schaust du dir die Anzahl der roten Kugeln an (= 2), schreibst einen Bruch, der die Wahrscheinlichkeit anzeigt, dass die erste gezogene Kugel rot ist und zack, hast du deine Wahrscheinlichkeit von 2/3.

Da du nur 1 blaue Kugel hast und die Wahrscheinlichkeit der ersten Stufe (also der Pfade „K“ und „Z“)  immer 100% bzw 1 ergeben muss, ist dir klar, dass die Wahrscheinlichkeit, die blaue Kugel zu ziehen, bei 1/3 liegt.

Kontrolle:  2/3 + 1/3 = 1

 

Baumdiagramm Kugel ziehen
Wahrscheinlichkeit beim Kugeln ziehen auf dem ersten Pfad

In dieser Aufgabe legst du die herausgezogene Kugel wieder zurück und ziehst erneut eine Kugel heraus. Da alle Kugeln genau wie beim ersten Mal noch da waren, haben sich auch die Wahrscheinlichkeiten für die roten und die blaue Kugel nicht verändert.

 

Baumdiagramm Kugeln nicht weglegen
Wahrscheinlichkeiten, wenn die Kugeln nicht rausgenommen werden

Beispiele ohne Zurücklegen

Bei dieser Aufgabe haben wir insgesamt 4 rote und 5 blaue Kugeln und ziehen wie eben auch zwei Mal, dieses Mal legen wir die gezogene Kugel jedoch nicht zurück!

Wie eben auch, musst du zuerst die Wahrscheinlichkeit des ersten Pfades berechnen, dass du eine rote oder eine blaue Kugel ziehst. Da es insgesamt 9 Kugeln sind, ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten:

Rote Kugel = 4/9 Blaue Kugel = 5/9

Diese trägst du dann in dein Baumdiagramm ein.

Nun hast du eine rote Kugel gezogen und legst diese nicht wieder zurück.

Beim zweiten Ziehen fehlt daher diese rote Kugel, weshalb sich die Wahrscheinlichkeiten verändern. Nun gibt es noch 3 rote und 5 blaue Kugeln, die gezogen werden können. Dementsprechend verringert sich die Wahrscheinlichkeit eine rote Kugel zu ziehen auf 3/8 , während die blauen Kugeln noch die gleiche Anzahl von 5 haben. Allerdings verändert sich auch hier der Nenner auf 8, da es nur noch 8 anstatt 9 Kugeln gibt.

Baumdiagramm Wahrscheinlichkeit rote Kugel
Wahrscheinlichkeiten, wenn eine rote Kugel rausgenommen wird

Wenn du jedoch als erstes eine blaue Kugel gezogen hast, verringert sich die Wahrscheinlichkeit der blauen Kugel auf dem zweiten Pfad auf 4/8, da auch diese Kugel nicht wieder zurückgelegt wurde. Die Anzahl der roten Kugeln bleibt gleich bei 4, aber auch hier sinkt der Nenner auf 8.

 

Baumdiagramm Wahrscheinlichkeit blaue Kugel
Wahrscheinlichkeiten, wenn eine blaue Kugel rausgenommen wird

Schreibweisen der Wahrscheinlichkeiten

Du kannst die Zahlen in einem Baumdiagramm auf ganz viele verschiedene Arten und weisen schreiben. Am einfachsten, vor allem bei dem Zufallsexperiment, wo ein Gegenstand, wie eben die Kugel, nicht zurückgelegt wird, empfiehlt es sich, dies in Brüchen zu schreiben.

Alternativ kannst du die Werte der einzelnen Wahrscheinlichkeiten auch in Dezimalzahlen oder Prozentzahlen schreiben.

Zusammenfassung

Abschließend möchten wir dir noch einmal eine kurze Übersicht über die wichtigsten Punkte zum Thema Baumdiagramm geben.

  • ein Baumdiagramm zeigt dir verschiedene Wahrscheinlichkeiten an
  • die Pfade in dem Baumdiagramm zeigen, wie oft du das Experiment durchführst

Es gibt die Produktregel und die Summenregel, um die Endwahrscheinlichkeiten auszurechnen.

  • Produktregel
    • –> die hintereinanderliegenden Pfade werden miteinander multipliziert
  • Summenregel
    • –> die hintereinanderliegenden Wahrscheinlichkeiten werden addiert

Und zum Schluss gibt es noch Aufgaben, bei denen du (beispielsweise eine Kugel) entweder wieder zurücklegst oder sie aus dem Experiment rausnimmst.
Hier musst du immer auf den Nenner des Bruches achten, mit dem du die Wahrscheinlichkeit angibst, denn wenn du eine Kugel nicht wieder zurücklegst, wird dieser entsprechend kleiner.

So, wir hoffen, der Artikel hat dir geholfen und du weißt nun ganz genau, auf welche Punkte du beim Thema Baumdiagramme achten musst.

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Laplace-Experiment – so verstehst Du es einwandfrei

Satz des Pythagoras – Die einfache Schritt-für-Schritt-Anleitung

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