Titelbild Kurvendiskussion durchführen

Kurvendiskussion – Rechenbeispiele und schnellste Wege

Fragst du dich, was eine Kurvendiskussion ist? Bist du dir unsicher, welche Eigenschaften einer Funktion man untersuchen kann?

Wir zeigen dir Schritt für Schritt anhand von Beispielen, wie du eine Kurvendiskussion richtig durchführst, und worauf du dabei ganz besonders achten musst.

Unter einer Kurvendiskussion versteht man eine umfangreiche Untersuchung einer Funktion. Dabei untersucht man die Funktion anhand wichtiger Eigenschaften wie zum Beispiel Extremstellen oder Nullstellen. Hat man eine Funktion auf diese Eigenschaften hin untersucht, kann man die Funktion ganz leicht zeichnen.

Bei einer Kurvendiskussion werden folgende Eigenschaften einer Funktion untersucht:

  • Definitionsbereich
  • Extremstellen
  • Sattelpunkte
  • Wendepunkte
  • Nullstellen
  • Achsenabschnitt
  • Symmetrieeigenschaft

Den Definitionsbereich bestimmen

Bevor wir mit der Untersuchung einer Funktion beginnen können, müssen wir zuerst den Definitionsbereich einer Funktion bestimmen

Der Definitionsbereich einer Funktion beinhaltet alle Werte, die in die Funktion eingesetzt werden können.

Schauen wir uns dazu zwei Beispiele an.

In die Funktion f(x) = 4x3 + 2x2 – 4x + 3 lassen sich alle Zahlen einsetzen. Dabei spielt es keine Rolle, ob die Zahlen positiv, negativ, groß oder klein sind. Der Definitionsbereich lautet: Df = ( – , )

Kurvendiskussion Definitionsbereich

Bei der Funktion  sieht dies anders aus. Wir können die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht ziehen. Das bedeutet, dass wir unter die Wurzel für x nur Zahlen einsetzen dürfen, bei denen x +1 0 ist. Damit ergibt sich ein Definitionsbereich von

Df = [-1 ,) wobei -1 die kleinste Zahl ist, die wir einsetzen dürfen.

Kurvendiskussion Definitionsbereich Wurzelfunktion

Extremstellen bestimmen

Bei einer Kurvendiskussion werden auch immer die Extremstellen bestimmt. Hierzu zählen Hochpunkte und Tiefpunkte.

Es gilt:

Eine Funktion hat eine Extremstelle, an der Stelle f´(x) = 0. Wenn f´´(x) < 0, handelt es sich um einen Hochpunkt und wenn f´´(x) > 0, liegt ein Tiefpunkt vor.

Um unsere Funktion auf Extremstellen zu untersuchen bilden wir zunächst die erste Ableitung.

f(x) = 4x3+ 2x2 – 4x + 3

f´(x) = 12x2 + 4x – 4

Nun setzen wir die erst Ableitung der Funktion gleich 0.

f´(x) = 12x2 + 4x – 4 = 0

Um diesen Term nach x aufzulösen verwenden wir die pq-Formel.

Die pq-Formel lautet:

Dazu teilen wir zunächst unseren Term durch 12, um vor dem x2 keine Zahl stehen zu haben.

x2+ ⅓ x – ⅓ = 0

x1 = 0,43

x2 = -0,767

Damit habe wir rausgefunden, bei welchem x-Wert sich die Extremstellen der Funktion befinden. Um herauszufinden, ob es sich dabei um Hoch- oder Tiefpunkte handelt, bilden wir die zweite Ableitung und setzen die x-Werte ein.

f´´(x) = 24x + 4

f´´(0,43) = 14,32 → Tiefpunkt 

f´´(-0,767) = -14,408 → Hochpunkt

Kurvendiskussion Definitionsbereich

Sattelpunkt berechnen

Ein Sattelpunkt, ist die Stelle einer Funktion, an der sich eine waagerechte Tangente zeichnen lässt, also die Steigung der Funktion gleich 0 ist.

Bedingungen für einen Sattelpunkt:

f´(x) = 0

f´´(x) = 0

f´´´(x) 0

Dazu untersuchen wir die Funktion f(x) = x3 +2 auf einen Sattelpunkt. Zunächst bilden wir die ersten drei Ableitungen der Funktion.

f´(x) = 3x2

f´´(x) = 6x

f´´´(x) = 6

Nun setzten wie die erste Ableitung gleich Null und berechnen den x-Wert der Extremstelle.

f´(x) = 0

x = 0

Kurvendiskussion Sattelpunkt berechnen

Im zweiten Schritt setzen wie diesen Wert in die zweite Ableitung ein, und schauen, ob die zweite Ableitung an der x-Stelle gleich 0 ist.

f´´(0) = 6*0 = 0

Im letzten Schritt überprüfen wir, ob die dritte Ableitung der Funktion ungleich 0 ist. Da diese Ableitung immer 6 ergibt, unabhängig von der eingesetzten Zahl, ist die dritte Ableitung immer ungleich 0. Somit haben wir an der Stelle x = 0 einen Sattelpunkt.

Wendestelle berechnen

Die Wendestelle einer Funktion ist die Stelle, an der die Steigung am größten ist. Dies liegt vor, wenn die zweite Ableitung der Funktion gleich Null ist und die dritte Ableitung ungleich Null.

Kurvendiskussion Wendestelle berechnen

Wir untersuchen die Funktion f(x) = 4x3 + 2x2 – 4x + 3 auf eine Wendestelle.

Im ersten Schritt bilden wir dazu die zweite und dritte Ableitung der Funktion

f´´(x) = 24x + 4

f´´´(x) = 24

Nun bestimmen wir die Nullstelle der zweiten Ableitung. Also die Nullstelle einer linearen Funktion.

f´´(x) = 24x + 4 = 0

x = -⅙ 

Im letzten Schritt überprüfen wir, ob die dritte Ableitung ungleich 0 ist. Da die dritte Ableitung unabhängig von der Zahl, die wir einsetzen immer gleich 24 ist, ist die dritte Ableitung ungleich Null. Somit haben wir an der Stelle x = -⅙ ein Wendepunkt vorliegen.

Nullstellen einer Funktion bestimmen

Die Nullstelle einer Funktion sagt aus, an welcher Stelle die Funktion die x-Achse schneidet.

Um die Nullstelle einer Funktion zu bestimmen setzen wir also die Funktion gleich Null.

f(x) = x3+ 2x2– 5x = 0 |ausklammern

f(x) = x* (x2 + 2x – 5) → Damit ist eine Nullstelle der Funktion der Punkt P (0|0)

f(x) = x2 + 2x – 5 → Die Nullstelle dieser Funktion lässt sich mit Hilfe der pq-Formel berechnen

x1 = 1,45 und x2 = -3,45

Die Nullstellen der Funktion lauten P(0|0), Q(1,45|0) und R(-3,45|0)

Kurvendiskussion Nullstelle

y-Achsenabschnitt berechnen

Der Achsenabschnitt einer Funktion sagt aus, wann die Funktion die y-Achse schneidet.

Anders als bei den Nullstellen gibt es immer nur einen Achsenabschnitt!

f(x) = 3x2 – 5x +2

Um den Achsenabschnitt zu berechnen, setzen wir für jedes x eine 0 ein. 

f(0) = 3*02 – 5*0 +2 = 2

Der Achsenabschnitt dieser Funktion liegt bei A(0|2)

Kurvendiskussion y-Achsenabschnitt

Symmetrieeigenschaft

Als letztes können wir bei einer Kurvendiskussion Funktionen auf ihre Symmetrieeigenschaft untersuchen. Sie können entweder Punktsymmetrisch zum Ursprung oder Achsensymmetrisch zur y-Achse sein.

Achsensymmetrie Parabel

Eine Funktion ist achsensymmetrisch, wenn gilt: f(x) = f(-x)

Wenn von Achsensymmetrie die rede ist, bezieht man sich immer darauf, dass die y-Achse die Symmetrieachse ist. Eine Funktion ist immer dann achsensymmetrisch, wenn sie nur gerade Exponenten enthält.

Die Bedingung für Punktsymmetrie ist: -f(x) = f(-x)

Das bedeutet, dass eine Funktion immer dann punktsymmetrisch zum Ursprung ist, wenn sie nur ungerade Exponenten enthält. 

Dabei darf die Funktion keine Konstante haben, da sonst die Punktsymmetrie zum Ursprung nicht mehr gegeben ist.

Punktsymmetrie, Polynomfunktion 3. Grades

Zunächst überprüfen wir diese Funktion auf Achsensymmetrie. Dazu setzen wir einen beliebigen Wert für x ein und rechnen den Wert der Funktion an dieser Stelle aus. Danach setzen wir erneut den gleichen Wert in die Funktion ein drehen aber das Vorzeichen und berechnen den Wert der Funktion.

Nehmen wir zum Beispiel den Wert 3 und -3

f(x) = 3x4 – 5x2 +2

f(3) = (3*3)4 – (5*3)2 +2 = 200

f(-3) = (3*(-3))4 – (5*(-3))2 +2 = 200

Da bei beiden Berechnungen der Wert 200 rauskommt, ist die Funktion Achsensymmetrisch zum Ursprung.

Symmetrie berechnen Kurvendiskussion

FAQ Kurvendiskussion

Welche Schritte muss ich bei einer Kurvendiskussion durchführen?

Falls nicht explizit nach nur einem bestimmten Schritt gefragt wird, kannst du folgende Schritte zur Berechnung durchführen:

  1. Definitionsbereich
  2. Extremstellen
  3. Sattelpunkte
  4. Wendepunkte
  5. Nullstellen
  6. Achsenabschnitt
  7. Symmetrieeigenschaft

Wofür brauche ich eine Kurvendiskussion?

Die Durchführung einer Kurvendiskussion hilft dir dabei eine Funktion, bei der du nur die Funktionsgleichung gegeben hast zu zeichnen. Du kannst Punkte, wie Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte oder auch Wendestellen dazu nutzen, eine Funktion leichter zeichnen zu können.

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