Trigonometrie

Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck einfach erklärt

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Du hast gerade das Thema Trigonometrie in der Schule und fragst dich, wie man die fehlenden Seiten und Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks berechnet ?

Damit du eine Aufgabe selbstständig lösen kannst, zeigt dir dieser Artikel, welche Formeln es gibt und wie man sie anwendet.

Lass uns direkt loslegen…

Was ist Trigonometrie?

Trigonometrie besteht aus den zwei griechischen Wörtern trigon und metrie und bedeutet wörtlich “Dreiecksvermessung”. Die grundlegende Aufgabe in der Trigonometrie besteht darin, die Beziehungen zwischen Seiten und Winkeln in einem rechtwinkligen Dreieck zu untersuchen.

Trigonometrie Formeln am rechtwinkligen Dreieck

Damit du aus den gegebenen Größen eines rechtwinkligen Dreiecks die fehlenden Seitenlängen und Winkelgrößen eines Dreiecks berechnen kannst, solltest du die trigonometrische Funktionen “Sinus”, “Cosinus” und “Tangens” kennen.

und die betrachten wir jetzt einmal näher…

rechtwinkliges Dreieck berechnen

\displaystyle sin\color{green}{(α)} = \frac{\color{blue}{Gegenkathete}}{\color{orange}{Hypotenuse}}\displaystyle = \frac{\color{blue}a}{\color{orange}c}

\displaystyle cos\color{green}{(α)} = \frac{\color{red}{Ankathete}}{\color{orange}{Hypotenuse}}\displaystyle = \frac{\color{red}b}{\color{orange}c}

\displaystyle tan\color{green}{(α)} = \frac{\color{blue}{Gegenkathete}}{\color{red}{Ankathete}}\displaystyle = \frac{\color{blue}a}{\color{red}b}

Es ist gegeben die Gegenkathete a, die unserem Winkel α gegenüberliegt. Die Ankathete b ist die Kathete, die direkt an dem Winkel α anliegt. Zu beachten ist, dass die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse c ist. Sie befindet sich gegenüber dem rechten Winkel.

Ein rechtwinkliges Dreieck hat genau 90°!

Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen – Schritt für Schritt

Mithilfe der drei Trigonometrie Formeln können wir nun die fehlenden Seiten und Winkeln eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen. Dazu gucken wir uns die folgende Aufgabe an.

Trigonometrie Seiten berechnen – Beispiel: 

Angenommen das folgende rechtwinklige Dreieck beinhaltet folgende Werte:

Gegeben:   c = 5 cm (Hypotenuse)     α = 30° (Winkelgröße)          Gesucht: a (Gegenkathete)

rechtwinkliges Dreieck berechnen

In unserer Skizze sehen wir, dass wir die Sinusfunktion verwenden müssen, um unsere fehlende Komponente (Gegenkathete a) zu berechnen.

\displaystyle sin\color{green}{(α)} = \frac{\color{blue}{Gegenkathete}}{\color{orange}{Hypotenuse}}\displaystyle = \frac{\color{blue}a}{\color{orange}c}

1. Zunächst müssen beide Werte in die Formel eingesetzt werden.

\displaystyle sin\color{green}{(30°)} = \frac{\color{blue}{a}}{\color{orange}{5 cm}}

2. Die Formel stellst du nach der Gegenkathete um und multiplizierst auf beiden Seiten der Gleichung mit 5 cm.

\displaystyle sin\color{green}{(30°)} = \frac{\color{blue}{a}}{\color{orange}{5 cm}} | ⋅ 5 cm

3. Damit erhältst du das Ergebnis der Gegenkathete a. Die Seitenlänge beträgt 2,5 cm.

sin (30°)5 cm = a

2,5 cm = a

Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen – Schritt für Schritt

Nun bist du bereits in der Lage, alle möglichen Seitenlängen zu berechnen. Wie du den Winkel berechnen kannst, erfährst du im nächsten Beispiel.

Trigonometrie Winkel berechnen – Beispiel: 

Für das folgende rechtwinklige Dreieck sind folgende Werte gegeben:

Gegeben:   b = 4 cm (Ankathete)     c = 8cm (Hypotenuse)          Gesucht: α (Winkelgröße)

rechtwinkliges Dreieck berechnen

Die Skizze gibt uns die Information, dass wir die Kosinusfunktion verwenden müssen, um die Winkelgröße zu bekommen.

\displaystyle cos\color{green}{(α)} = \frac{\color{red}{Ankathete}}{\color{orange}{Hypotenuse}}\displaystyle = \frac{\color{red}b}{\color{orange}c}

1. Beide Werte der Seitenlängen in die Trigonometrie Formel einsetzen.

\displaystyle cos\color{green}{(α)} = \frac{\color{red}{4 cm}}{\color{orange}{8 cm}}

2. Auf der rechten Seite dividierst du die zwei Zahlen. Du erhältst cos (α)= 0,5.

cos (α) = 0,5

3. Das Ergebnis setzt du dann in die Umkehrfunktion von Cosinus, also in \displaystyle cos^{-1}. Um nun die Winkelgröße des rechtwinkligen Dreiecks zu bekommen, kannst du die \displaystyle cos^{-1} – Taste auf deinem Taschenrechner verwenden.

α = \displaystyle cos^{-1}(0,5)

4. Du erhältst die Winkelgröße des rechtwinkligen Dreiecks. Der Winkel beträgt 60°.

α = 60°

Beachte hierbei, dass Dein Taschenrechner auf DEG (Degree) eingestellt ist.

Trigonometrie Tabelle

Hier siehst du eine Wertetabelle, die du dir merken kannst. Zu einigen Winkeln der trigonometrischen Funktionen gibt es besondere Funktionswerte, die sich als Wurzelausdrücke darstellen.

Winkel α

30°

45°

60°

90°

sin (α)

0

1/2

√2/2

√3/2

1

cos (α)

1

√3/2

√2/2

1/2

0

tan (α) 

0

√3/3

1

√3

-

Beispiel: 

Folgende Werte  sind für ein rechtwinkliges Dreieck gegeben.

Gegeben:   c = 6 cm (Hypotenuse)     α = 30 ° (Winkelgröße)           Gesucht: b (Ankathete)

1. Kosinusfunktion anwenden

\displaystyle cos\color{green}{(α)} = \frac{\color{red}{Ankathete}}{\color{orange}{Hypotenuse}}\displaystyle = \frac{\color{red}b}{\color{orange}c}

2. Du guckst in die Tabelle und nimmst den Cosinus- Wert für 30°. In die Formel setzt du also √3/2 ein.

\displaystyle\color{green}{√3/2} = \frac{\color{red}{b}}{\color{orange}{6 cm}}

3. Die Formel stellst du nach der Ankathete um und multiplizierst auf beiden Seiten der Gleichung mit 6 cm. Du erhältst ein Ergebnis der Seitenlänge von 3√3 cm.

\displaystyle\color{green}{√3/2} = \frac{\color{red}{b}}{\color{orange}{6 cm}} | ⋅ 6 cm

√3/26 cmb

3√3 cm = b

Trigonometrie Aufgaben

Und nun bist du an der Reihe! Teste dein Wissen anhand der Übungsaufgaben und schaue, ob du die Formeln richtig anwendest.

Die Ankathete hat eine Länge von 4 cm und der Winkel α eine Größe von 45°. Wie groß ist die Seitenlänge der Gegenkathete a?

Es bestehen 2 folgende Rechenwege das Ergebnis zu ermitteln, nämlich der Weg über die Wertetabelle und einmal ohne die Wertetabelle.

\displaystyle tan\color{green}{(α)} = \frac{\color{blue}{Gegenkathete}}{\color{red}{Ankathete}}\displaystyle = \frac{\color{blue}a}{\color{red}b}

\displaystyle tan\color{green}{(45°)} = \frac{\color{blue}{a}}{\color{red}{4 cm}} | ⋅ 4 cm

tan (45°) 4 cm = a

4 cm = a

Die Seitenlänge der Gegenkathete beträgt 4 cm.

\displaystyle tan\color{green}{(α)} = \frac{\color{blue}{Gegenkathete}}{\color{red}{Ankathete}}\displaystyle = \frac{\color{blue}a}{\color{red}b}

\displaystyle \color{green}{1 cm} = \frac{\color{blue}{a}}{\color{red}{4 cm}} | ⋅ 4 cm

1 cm4 cm = a

4 cm = a

Die Seitenlänge der Gegenkathete beträgt 4 cm.

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Gegenkathete a= 5 cm und die Hypotenuse c= 15 cm gegeben. Berechne den Winkel α ?

\displaystyle sin\color{green}{(α)} = \frac{\color{blue}{Gegenkathete}}{\color{orange}{Hypotenuse}}\displaystyle = \frac{\color{blue}a}{\color{orange}c}

\displaystyle sin\color{green}{(α)} = \frac{\color{blue}{5 cm}}{\color{orange}{15 cm}}

 

\displaystyle sin\color{green}{(α)} = \frac{\color{black}{1}}{\color{black}{3}}

 

α = \displaystyle sin^{-1}(\frac{1}{3})

α 19,47°.

Der Winkel ? beträgt 19,47°.

FAQ

Was berechnet man mit der Trigonometrie?

Mithilfe der Trigonometrie kannst du die fehlende Seitenlängen und Winkelgrößen in einem Dreieck berechnen. Hier sind die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens von großer Bedeutung.

Woher weiß ich, ob ich Sinus, Cosinus oder Tangens nehmen muss?

Schau Dir an, welche Größen des Dreiecks in der Aufgabenstellung gegeben und gesucht sind. Angenommen, Gegenkathete und Winkel sind gegeben und die Seitenlänge der Hypotenuse wird gesucht. Die Kosinusfunktion hilft dir in dem Fall nichts, weil die Ankathete fehlt, also nimmst du die Sinusfunktion.

Welche Dreiecke kann man mithilfe der Trigonometrie berechnen?

Mittels der trigonometrischen Funktionen kannst du fehlende Seitenlängen oder Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck berechnen.

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