Koordinatensystem mit linearer Funktion vor Berg

Steigung berechnen – einfache Erklärung und Rechenbeispiele

Das Thema Steigung berechnen ist ein recht einfaches mathematisches Problem. Dafür brauchst du jedoch ein paar wichtige Formeln und Infos.

Wir zeigen dir…
… was eine Steigung genau ist,
… wie du sie direkt von einem Graphen ablesen,
… aus unterschiedlichen gegebenen Werten berechnen,
… und auch selbst in ein Koordinatensystem einzeichnen kannst.

Also, schnapp dir etwas zum Mitschreiben und los geht’s!

Bedeutung der Steigung linearer Funktionen

Steigung und Gefälle sind ganz alltägliche Dinge der Natur. Das einfachste Beispiel ist ein Berg. Aber auch der Mensch erschafft viele Dinge, die eine bestimmte Steigung haben.

Ein Hausdach beispielsweise muss ein bestimmtes Gefälle haben, damit das Regenwasser gut abfließen kann. Aber auch bei kleinen Heimwerker-Projekten wirst du sicherlich selbst einmal in die Situation kommen, eine Steigung auszurechnen.

Sicherlich kennst du auch das Verkehrsschild, welches ein starkes Gefälle ankündigt.

Straßenschild Gefälle

In der Mathematik ist die Steigung insb. bei der Kurvendiskussion wichtig.

Es hilft dir ungemein, wenn du dir bei allen mathematischen Themen den Nutzen deutlich machst und konkrete Beispiele vor Augen hast!

Doch was hat es eigentlich mit den Begriffen Steigung, Gefälle und sogar Neigung auf sich?

Es gibt eigentlich keinen Unterschied. Auch wenn Steigung meist für einen positiven Anstieg und Gefälle für eine negative Neigung verwendet wird, ist mit Steigung alles gemeint. Die Steigung ist ein Maß für die Steilheit von Geraden.

Mathematische Form

Die Gleichung einer linearen Funktion hat die Form:

\displaystyle y = mx + n

m: Steigung
n: Wert auf y-Achse

An der Funktion kannst du erkennen, wie steil der Graph steigt oder fällt:

Je größer m, desto steiler steigt oder fällt die Gerade. Sie steigt bei einem positiven und fällt bei einem negativen Betrag.

Beispiel: 

Beispiel positive Steigung
Beispiel negative Steigung

→ Links im Bild siehst du positive Steigungen und rechts im Bild sind die Funktionen fallend. Wenn du auf den Betrag “m” achtest siehst du außerdem, wie sich die einzelnen Steigungen verändern.

Steigung berechnen Formel

Für die Berechnung der Steigung gibt es keine allgemeingültige Formel. Je nach dem was gegeben und gesucht ist, gibt es unterschiedliche Herangehensweisen.

Hast du einmal die Regeln verstanden, wird dir das Bestimmen der Steigung sehr leicht fallen.

Das ist meist gegeben:
1. Graph einer linearen Funktion (Gerade)
2. zwei Punkte, die auf der gesuchten Geraden liegen
3. der Steigungswinkel

Das ist meist gefragt:
1. Steigung einer gegebenen Funktion (Graph) ablesen
2. Steigung schriftlich berechnen
3. Steigungswinkel berechnen
4. Gerade in Koordinatensystem einzeichnen

Steigung ablesen

Um die Steigung einfach ablesen zu können, muss der Funktionsgraph in einem Koordinatensystem gegeben sein. Dafür verwendest du das Steigungsdreieck.

Steigungsdreieck

Das Steigungsdreieck dient zur Veranschaulichung der Steigung einer linearen Funktion. Du beginnst immer am Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse (hier n = 2) und gehst so viele Kästchen bzw. Einheiten nach rechts, bis sich mit einem geraden Strich nach oben eine eindeutige Zahl ablesen lässt.

Beispiel Steigungsdreieck 1

→ 1 Einheit nach rechts, 1 nach oben → Steigung m = 1

Beispiel Steigungsdreieck 2

→ 2 Einheiten nach rechts, 1 nach oben → Steigung m = 0.5

Wenn du mehr als eine Einheit nach rechts gegangen bist, musst du den Wert nach oben durch die Anzahl der Einheiten in waagerechter Richtung teilen.

Im Beispiel: 1/2 = 0.5

Beispiel Steigungsdreieck 3

Genauso funktioniert es übrigens auch bei Graphen mit negativer Steigung. Entweder du gehst nach rechts und unten, oder nach links und oben. Das Prinzip bleibt das gleiche.

In diesem Beispiel ist die Steigung m = -2.

Steigung einer Geraden berechnen

Alternativ kannst du die Steigung auch rechnerisch bestimmen.

Nehmen wir wieder das Beispiel von oben. Ist der Graph der Funktion gegeben, musst du zwei Punkte auf dem Funktionsgraphen ablesen und diese dann in die Steigungsformel einsetzen.

Steigungsformel

Punkte \displaystyle P_{ 0 } (x_{ 0 }/y_{ 0 }) und \displaystyle P_{ 1 } (x_{ 1 }/y_{ 1 })

Steigungsformel \displaystyle m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{ (y_{ 1 }-y_{ 0 }) }{ (x_{ 1 }-x_{ 0 }) }

Im Beispiel: \displaystyle P_{ 0 } (0/2) und \displaystyle P_{ 1 } (2/3)

\displaystyle m = \frac{3-2}{2-0}

 

\displaystyle m = \frac{1}{2}= 0.5
Beispiel Steigungsformel

Sind allerdings schon zwei Punkte gegeben, musst du diese nicht ablesen und kannst sie direkt in die Steigungsformel einsetzen.

Steigungswinkel berechnen

Um den Steigungswinkel besser zu verstehen, klären wir erstmal, was man überhaupt unter der Angabe von Grad und Prozent bei Steigungen versteht.

Steigungen in Prozent

Erinnerst du dich noch an das Verkehrsschild?

Das Schild weist auf ein Gefälle bzw. eine Steigung von 12 Prozent hin. Das bedeutet, dass pro 100 m waagerechter Strecke die Höhe um 12 m zunimmt.

Beispiel Steigung in Prozent

[Abbildung ist nicht verhältnismäßig]

Berechnung: \displaystyle \frac{Höhenunterschied}{waagerechte\ Strecke}=\frac{12}{100}= 12\ \%

Fällt dir etwas auf?
Wir haben hier gerade 1:1 die Steigungsformel angewendet!

\displaystyle m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{ (y_{ 1 }-y_{ 0 }) }{ (x_{ 1 }-x_{ 0 }) }=\frac{Höhenunterschied}{waagerechte\ Strecke}

Steigungen in Grad

Die Steigung kann aber auch über den Steigungswinkel α angegeben werden. Um den Winkel zu berechnen, brauchen wir die Trigonometrie.

Formel: \displaystyle tan (\alpha)=\frac{ Gegenkathete }{ Ankathete }=m

Im Beispiel:

\displaystyle tan (\alpha)=\frac{ 12 }{ 100 }

 

Wenn wir jetzt aber den Winkel bestimmen wollen, müssen wir nach α umstellen und den arctan (oft auch \displaystyle tan^{ -1 }) berechnen:

\displaystyle \alpha= arctan(\frac{ 12 }{ 100 })= 6.84°
Beispiel Steigung in Grad

Bei einigen Taschenrechnern muss für das richtige Ergebnis das Gradmaß (statt dem Bogenmaß) eingestellt sein!

Allg. Formel: \displaystyle \alpha=arctan(\frac{ Höhenunterschied }{ waagerechte\ Strecke })= arctan (m)

Ist die Steigung negativ, musst du 180 Grad zu dem Ergebnis hinzurechnen, da du lediglich den kleineren negativen Winkel berechnest!

Beispiel:

\displaystyle f(x) = -0.5x + 1

 

\displaystyle arctan (m) = arctan(- 0.5) = -26.57°

\displaystyle + 180° \approx 153°
Beispiel Steigung in Grad negativ

Sonderfälle:
Gerade parallel zur x-Achse → α = 0 Grad
Gerade parallel zur y-Achse → α = 90 Grad

Prozent – Grad Umrechnung

Steigungswinkel (°) = \displaystyle arctan(\frac{ Steigung\ (\%) }{ 100 })

Steigung (%) = \displaystyle tan( Steigungswinkel\ (°)) * 100

Fun Fact: Die steilste Straße der Welt ist die Baldwin Street in Neuseeland. Sie hat eine maximale Steigung von unglaublichen 19,3° oder rund 35 %!

Gerade mit Steigungsdreieck zeichnen

Hast du die Aufgabe, eine lineare Funktion bzw. Gerade mit vorgegebener Funktionsgleichung in ein Koordinatensystem zu zeichnen, hilft dir das Steigungsdreieck.

Gehe wie folgt vor:

1. markiere dir den Wert von n auf der y-Achse
2. mache dir klar, ob die Steigung positiv oder negativ ist (Vorzeichen von m)
3. gehe gedanklich wie gelernt die Einheiten nach rechts und oben bzw. links und unten
4. verbinde den Punkt n und den Endpunkt aus 3.

Aufgaben mit Lösungen – Jetzt bist du dran

Um das Gelernte anzuwenden, haben wir noch je eine Aufgabe zu der jeweiligen Aufgabenstellung.

Mach dir erst Gedanken bzw. Notizen und überprüfe dann deine Lösungen.

Die Steigung kannst du wie abgebildet mit dem Steigungsdreieck bestimmen. Die Funktionsgleichung erhälst du durch einsetzen von n und m.

y = mx + n

m = 1.5
n = 1

y = 1.5x + 1

Lösung 1

\displaystyle P_{ 0 } (0/2) und \displaystyle P_{ 1 } (1/4)

\displaystyle P_{ 0 } (x_{ 0 }/y_{ 0 }) und \displaystyle P_{ 1 } (x_{ 1 }/y_{ 1 })

\displaystyle m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{ (y_{ 1 }-y_{ 0 }) }{ (x_{ 1 }-x_{ 0 }) }

 

\displaystyle m = \frac{ 4-2 }{ 1-0 } = \frac{ 2 }{ 1 }=2

Steigung von 25 Prozent

Eine Steigung von 25 % bedeutet einen Höhenunterschied von 25 m bei 100 m waagerechter Strecke.

\displaystyle tan (\alpha)=\frac{ Gegenkathete }{ Ankathete }

 

\displaystyle \alpha=arctan(\frac{ Gegenkathete }{ Ankathete })

 

\displaystyle \alpha=arctan(\frac{ 25 }{ 100 })

 

\displaystyle \alpha=14.04°
Online Sprachunterricht

Dir fällt Mathe schwer und du möchtest professionelle Hilfe? Dann ist vielleicht unsere Nachhilfe genau das Richtige! Der Vorteil: Du kannst ganz unverbindlich ohne Vertragslaufzeiten so viele Stunden nehmen, wie du brauchst.

Finde in nur 30 Sekunden deinen persönlichen Nachhilfelehrer.

FAQ Steigung berechnen

Wie berechnet man die Steigung?

Die Steigung wird mit der Steigungsformel berechnet.

Diese lautet: \displaystyle m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{ (y_{ 1 }-y_{ 0 }) }{ (x_{ 1 }-x_{ 0 }) }=\frac{Höhenunterschied}{waagerechte\ Strecke}

Wie wird Steigung in Prozent berechnet?

\displaystyle Steigung\ (\%) = \frac{Höhenunterschied}{waagerechte\ Strecke}*100

Was bedeutet eine Steigung von 10 %?

Das bedeutet, dass auf einer waagerechten Strecke von 100 m eine Höhe von 10 m überwunden wird.

Wie viel Grad sind 100 % Steigung?

100 % Steigung entsprechen 45 Grad. Kurze Erklärung: Höhen- und Längenunterschied sind je 100, sodass eine Gerade im Quadrat winkelhalbierend ist und einen Winkel von 45 Grad einschließt.

Kann eine Steigung über 100 % sein?

Ja. Bei genau 45 Grad ist die Steigung 100 %. Alles darüber hinaus stellt eine höhere Steigung als 100 % dar.

Na, alles verstanden?

Falls du noch Fragen oder Wünsche hast, schreib sie uns gerne in die Kommentare und wir helfen dir.

Ansonsten klick dich gerne mal bei unseren weiteren Lerntipps durch.

Kommentar verfassen

Deine E-Mail-Adresse wird nicht veröffentlicht. Erforderliche Felder sind mit * markiert.