kleinstes gemeinsames Vielfaches

Kleinstes gemeinsames Vielfaches erklärt – Mit Übungsaufgaben!

Du fragst dich was das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist? Oder brauchst du Hilfe beim Berechnen des kgV? Du weißt nicht was du mit der “Primfaktorzerlegung” anfangen sollst?

Da können wir dir helfen! Wir erklären dir das kgV und dessen Berechnung mit Zahlenreihen oder Primfaktorzerlegung. Alles mit einfachen Erklärungen und Übungsaufgaben zum selbst testen. Auf geht’s !

Das Vielfache einer Zahl ist immer die Zahl, um eine beliebige Anzahl mit sich selbst addiert.

Wenn man die Zahl 2 ein einziges Mal mit sich selbst addiert, erhält man 4:

2 + 2 = 4.

Dies entspricht 2 x 2. Somit ist 4 ein Vielfaches von 2. Genauso sind aber auch 6 , 8 oder auch 20 Vielfaches von 2:

6 = 2 + 2 + 2, also 2 x 3

8 = 2 + 2 + 2 + 2, also 2 x 4

20 = 2+2+…2, also 2 x 10

Die Vielfachreihe von 2 sieht so aus:

V2 = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22…}

Dies gilt natürlich nicht nur für 2, sondern auch für alle anderen Zahlen. Die Vielfachen von 3 sind so 6, 9, 12, 15, 18 usw. Die Vielfachen von 11 sind 22, 33, 44, 55 usw.

Kleinstes gemeinsames Vielfaches

Was hat das nun mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen zu tun? Wie der Name “kleinstes gemeinsames Vielfaches” schon ausdrückt, geht es auch hier um Vielfaches von Zahlen. Aber genauer geht es um die kleinsten Vielfachen, die die Zahlen gemeinsam haben.

Kleinstes gemeinsames Vielfaches Definition

Das kleinste gemeinsame Vielfache von Zahlen ist die kleinste Zahl, die ein Vielfaches der Zahlen ist.

Schreibweise:

kgV(a, b)

Beispiel – kgV von 2 und 3 ist:

kgV(2, 3) = 6

Oft wird das kgV von zwei Zahlen gesucht. Es können aber auch drei oder beliebig mehr sein. Der Einfachheit halber beginnen wir für die Berechnung aber beim kgV von zwei Zahlen.

Um das kgV von beliebigen Zahlen zu berechnen, gibt es zwei Möglichkeiten: die Berechnung mit Zahlenreihen bzw. Vielfachreihen und die Primfaktorzerlegung.

kgV mit Vielfachreihen berechnen

Dies ist die leichtere aber etwas längere Methode zur Berechnung des kgV. Hierfür benötigen wir die eben eingeführten Vielfachen von Zahlen. Du gehst wie folgt vor:

  1. Du stellst einfach die Reihe an Vielfachen der zwei Zahlen auf
  2. Nun schaust du welche Zahlen bei beiden in den Reihen auftauchen
  3. Die kleinste der gefundenen Zahlen ist dein gesuchtes kgV

Beispiel – Du suchst nach dem kgV von 3 und 5:

  1. V3 = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30…}
    V5 = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45…}
  2. Die 15 und die 30 tauchen in beiden Reihen auf.
  3. Die 15 ist die kleinere Zahl und ist damit das gesuchte kgV: kgV(3, 5) = 15

kgV mit Primfaktorzerlegung berechnen

Die zweite und schneller Möglichkeit benötigt Kenntnisse über die Primfaktorzerlegung, Falls du diese nicht draufhast, können wird dir hier weiterhelfen:

Primfaktorzerlegung

So funktionierts: Du stellst eine Zahl als Produkt von Primzahlen dar.

Primzahlen sind Zahlen, die man nur durch sich selbst oder durch 1 teilen kann. Falls du Interesse hast, mehr über Primzahlen zu lernen, klick hier: Primzahlen

Die folgende Tabelle zeigt dir alle Primzahlen bis 50.

2

3

5

7

11

13

17

19

23

29

31

37

41

43

47

Wenn du nun z.B. die 20 als Produkt von Primfaktoren darstellst, erhältst du folgendes:
20 = 2 x 2 x 5.

Nun schreibst du die Primfaktoren mit ihren Potenzen, in diesem Fall erhält man 2² x 5

kgV mit Primfaktorzerlegung Methode

Nun da du die Primfaktorzerlegung kennst, wenden wir sie für die kgV-Berechnung an. Das machst du so:

  1. Wende die Primfaktorzerlegung an den beiden Zahlen an
  2. Markiere die höchsten Potenzen für jede vorkommende Zahl
    Beispiel: bei 3, 3² und 3³ wird nur 3³ markiert. Wenn aber nur eine Potenz, z.B. nur 5 vorkommt, wird die 5 einmal markiert
  3. Multipliziere die markierten Zahlen, um dein kgV zu erhalten

Beispiel – Du suchst nach dem kgV von 8 und 10:

  1. 8 = 2 x 2 x 2 = 2³
    10 = 2 x 5
  2. Die 5 kommt einmal vor und wird markiert. Die 2 kommt zweimal vor (2 und 2³), es wird aber nur die 2³ markiert, da sie die höchste Potenz ist.
  3. 5 und 2³ wird multipliziert: 5 x 2³ = 40. Das kgV von 8 und 10 ist 40: kgV(8, 10) = 40

Übungsaufgaben

  1. kgV(2, 3) mit den Vielfachreihen berechnen
  2. kgV(6, 14) mit den Vielfachreihen berechnen
  3. kgV(12, 16) mit der Primfaktorzerlegung berechnen
  4. kgV(9, 15) mit der Primfaktorzerlegung berechnen
  1. kgV(2, 3) = 6
  2. kgV(6, 14) = 42
  3. kgV(12, 16) = 48
  4. kgV(9, 15) = 45

Kleinstes gemeinsames Vielfaches Rechner

Falls du einen automatischen Rechner für das kgV von beliebig, selbst eingegebenen Zahlen suchst, dann schau auf der verlinkten Webseite nach: https://www.matheretter.de/rechner/kgv

Häufig gestellte Fragen / FAQ

Das Vielfache einer Zahl ist immer die Zahl, um eine beliebige Anzahl mit sich selbst addiert. So ist z.B. 8 ein Vielfaches von 2 (2 + 2 + 2 +2 bzw. 2 x 4), 32 ist ein Vielfaches von 2 (2 + 2 + …2 bzw. 2 x 16), 10 ist ein Vielfaches von 5 (5 + 5 bzw. 5 x 2) und 33 ist ein Vielfaches von 11 (11 + 11 + 11 bzw. 11 x 3).

Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von Zahlen ist die kleinste Zahl, die ein Vielfaches der Zahlen ist. Das kgV von 2 und 5 ist 10. Das kgV von 10 und 12 ist 60.

Du verwendest entweder Vielfachreihen oder die Primfaktorzerlegung.

Mit Vielfachreihen:

  1. Du stellst einfach die Reihe an Vielfachen der zwei Zahlen auf
  2. Nun schaust du welche Zahlen bei beiden in den Reihen auftauchen.
  3. Die kleinste der gefundenen Zahlen ist dein gesuchtes kgV

Mit Primfaktorzerlegung:

  1. Wende die Primfaktorzerlegung an den beiden Zahlen an
  2. Markiere die höchsten Potenzen für jede vorkommende Zahl
    Beispiel: bei 3, 3² und 3³ wird nur 3³ markiert. Wenn aber nur eine Potenz,
    z.B. nur 5 vorkommt, wird die 5 einmal markiert.
  3. Multipliziere die markierten Zahlen, um dein kgV zu erhalten

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