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Vektoren sind ein Thema, das viele Schüler und Schülerinnen erstmal ziemlich verwirrt.
- Was sind Vektoren eigentlich?
- Wie kann man sie berechnen und wie kann man ihre Länge bestimmen?
- Was ist der Unterschied zwischen Verbindungsvektoren, Ortsvektoren und Gegenvektoren?
Genau das wollen wir dir jetzt Schritt für Schritt erklären.
Allgemein beschreibt ein Vektor 
eine Verschiebung im Koordinatensystem.
Bezeichnet wird ein Vektor…
- entweder mit einem kleinen Buchstaben und einem Pfeil darüber.
- oder aber mit Großbuchstaben, die jeweils für Punkte im Koordinatensystem stehen, und einem Pfeil darüber.
Vektoren im Koordinatensystem
Für ein zweidimensionales Koordinatensystem (für die Ebene) gilt:
- Positive Werte (z.B. 4) bedeuten eine Verschiebung um 4 Einheiten nach rechts
- Negative Werte (z.B. -5) beschreiben eine Verschiebung um 5 Einheiten nach links
- Positive Werte (z.B. 1) stellen eine Verschiebung um 1 Einheit nach oben dar.
- Negative Werte (z.B. -2) geben eine Verschiebung um 2 Einheiten nach unten an.
Für ein dreidimensionales Koordinatensystem (für den Raum) gilt:
- Positive Werte (z.B. 5): bedeutet eine Verschiebung um 5 Einheiten nach vorne
- Negative Werte (z.B. -1): repräsentieren eine Verschiebung um 1 Einheit nach hinten
- Positive Werte: Verschiebung nach rechts
- Negative Werte: Verschiebung nach links
- Positive Werte: Verschiebung nach oben
- Negative Werte: Verschiebung nach unten
Die Lage des Vektors bzw. des Vektorpfeils im Koordinatensystem ist egal.
Das heißt, dass der Vektor 
lediglich folgende Verschiebung beschreibt:
- um 2 Einheiten nach rechts (entlang der x-Achse)
- um 3 Einheiten nach oben (entlang der y-Achse)
Wo genau der Vektor liegt ist dabei irrelevant, wie du mithilfe der Grafik erkennen kannst.
Vektoren berechnen mithilfe zweier Punkte
Wenn wir uns nochmal die Grafik von gerade eben anschauen, dann erkennen wir, dass der Vektor jeweils durch zwei Punkte festgelegt wird.
Das heißt, dass ein Punkt den Startpunkt des Vektors markiert und ein Punkt das Ende des Vektors darstellt.
Doch wie kann ich mithilfe der Punkte einen Vektor berechnen?
Dafür merkst du dir die Regel: Spitze minus Fuß
- Spitze: das Ende des Vektors
- Fuß: der Anfangspunkt des Vektors.
Du rechnest:
In unserem konkreten Fall also:
Die Pfeile 
, 
, 
, 
werden alle durch den Vektor beschrieben.
Alle drei Pfeile sind…
- parallel zueinander
- gleich lang
- gleichgerichtet
Aus diesem Grund ist jeder einzelne Pfeil von ihnen ein Repräsentant des Vektors v1.
Übersicht über die verschiedenen Vektoren
Alle Vektoren geben eine Verschiebung im Koordinatensystem an. Dennoch können sie unterschiedlich klassifiziert werden.
Verbindungsvektor
Du weißt bereits, dass Vektoren grundsätzlich keine feste Lage im Koordinatensystem haben. Allerdings können sie zwei Punkte miteinander verbinden. In diesem Fall bekommen sie einen festen Ort im Koordinatensystem.
So können zum Beispiel die Punkte A und B miteinander verbunden werden.
Dabei gilt:
Der Verbindungsvektor 
beschreibt die Richtung vom Punkt A zum Punkt B.
Der Verbindungsvektor 
beschreibt die Richtung vom Punkt B zum Punkt A.
Merke dir!
Die Länge der Strecke 
gibt zwar den Abstand zwischen den Punkten A und B an, jedoch nicht die Richtung, in die man sich bewegt. Um zu wissen in welche Richtung man sich bewegt, brauchst du einen Vektor
Richtungsvektor
Der Unterschied zwischen einem Verbindungsvektor und Richtungsvektor liegt in ihrer Verwendung in der Mathematik und ihrer Definition.
- Der Verbindungsvektor verbindet zwei spezifische Punkte und lässt damit Rückschlüsse auf deren Abstand zu.
- Richtungsvektoren stehen immer in Zusammenhang mit Geraden oder Ebenen. Man spricht von Richtungsvektoren, wenn eine bestimmte Bewegungsrichtung von einem Punkt aus angegeben werden soll.
Verbindungsvektoren können auch als Richtungsvektoren verwendet werden. Zum Beispiel beim Aufstellen einer Geradengleichung.
Ortsvektor
Der Ortsvektor ist ein Sonderfall des Verbindungsvektors und verbindet den Koordinatenursprung mit einem beliebigen Punkt im Koordinatensystem. Man bewegt sich also vom Ursprung zum Punkt.
Gegenvektor
Sind die Pfeile 
und 
parallel zueinander und gleich lang, jedoch entgegengesetzt gerichtet, dann wird als Gegenvektor zu bezeichnet und als Gegenvektor zu .
Man schreibt auch:
Nullvektor
Wenn bei einem Vektor der Ausgangspunkt mit der Spitze zusammenfällt, dann heißt er Nullvektor und wird mit 
angegeben. Das bedeutet, dass keine Bewegung vorliegt. Einen Nullvektor kannst du nicht zeichnen.
Einheitsvektor
Ein Vektor wird als Einheitsvektor bezeichnet, wenn sein Betrag 1 beträgt. Du erhältst einen Einheitsvektor 
indem du deinen Ausgangsvektor durch seinen Betrag dividierst.
Anstatt durch den Betrag zu teilen, kannst du deinen Ausgangsvektor auch mit dem Kehrbruch des Betrags multiplizieren.
Allgemein gilt:
Beispiel:
Für den Vektor 
mit dem Betrag 5 erhältst du folgenden Einheitsvektor:
Basisvektoren
Als Basisvektoren werden in der Ebene die Einheitsvektoren
und 
bezeichnet.
Im Raum bilden die Einheitsvektoren 
die Basisvektoren.
Beispiel:
Der Vektor 
kann folgendermaßen durch die Basisvektoren 
und 
dargestellt werden:
Der Betrag und die Länge eines Vektors
Für einen beliebigen Pfeil 
gilt:
Beispiel:
Der Vektor 
hat eine Länge von:
Gleichermaßen gilt für einen Pfeil 
:
Beispiel:
Der Vektor 
hat eine Länge von:
Vektoren Lagebeziehungen
Auch wenn die Lage eines Vektors im Koordinatensystem grundsätzlich egal ist, können die Vektoren auf verschiedene Art und Weise zueinander angeordnet sein.
Vektoren parallel
Anschaulich betrachtet, ist ein Vektor parallel zu einem Vektor , wenn er entweder in die gleiche oder in die entgegengesetzte Richtung zeigt 
.
Mathematisch gesehen sind Vektoren genau dann parallel, wenn sie Vielfache voneinander sind.
Zwei (oder mehr) Vektoren liegen parallel zueinander, wenn der eine Vektor ein skalares Vielfaches des anderen ist. Dieses Vielfache wird durch eine reelle Zahl k veranschaulicht.
Es gilt:
Beispiel:
Nun teilen wir die Komponenten des Vektors durch die des Vektors
Die x- Koordinate als auch die y-Koordinate des Vektors sind jeweils das Zweifache (k = 2) vom Vektor . Das heißt, sie sind parallel zueinander.
Um zu prüfen, ob der Vektor 
parallel zum Vektor liegt, gehen wir identisch vor.
Auch hier sind die Vektoren Vielfache voneinander und somit parallel.
Du könntest auch schreiben:
bzw. 
Alternativ dazu kannst du mithilfe des Kreuzprodukts prüfen, ob Vektoren parallel zueinander liegen.
Vektoren senkrecht
Zwei Vektoren und stehen senkrecht aufeinander, wenn der Winkel zwischen ihnen 90° beträgt.
Mithilfe des Skalarproduktes kannst du nachweisen, ob zwei Vektoren senkrecht zueinander sind. Schau dir dazu unseren Beitrag zur Berechnung des Skalarproduktes an. Darin erfährst du auch, wie du den Schnittwinkel von zwei Vektoren bestimmen kannst.
Möchtest du einen Vektor bestimmen, der senkrecht auf zwei anderen Vektoren steht? Das geht ganz einfach mit dem Vektorprodukt. Um zu erfahren, wie du das berechnest, schau dir unseren Artikel zum Kreuzprodukt an. Dort erfährst du auch, wie du mithilfe von Vektoren den Flächeninhalt eines Parallelogramms berechnen kannst.