Pyramiden berechnen – Schritt-für-Schritt

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Du möchtest alles über Pyramiden wissen? Wissen, wie man das Volumen und die Oberfläche berechnen kann und außerdem die besonderen Arten von Pyramiden kennenlernen? Dann bist du hier richtig.

Lass mich dir die Welt der Pyramiden Schritt für Schritt näherbringen.

Los geht’s!

Die Pyramide ist eine der vielen geometrischen Körper in der Geometrie. Die Pyramide hat als Grundfläche ein Vieleck und die Mantelfläche besteht aus mindestens 3 gleichschenkligen Dreiecken. Die Mantelfläche einer Pyramide hat genauso viele Dreiecke wie die Grundfläche Seiten hat.

Die gängigste und bekannteste Pyramide ist die quadratische Pyramide. Sie hat als Grundfläche ein Quadrat und somit vier gleichschenklige Dreiecke als Mantelfläche.

Netz 

Als Netz einer Pyramide bezeichnet man alle Seite der Pyramide auf einer Ebene ausgebreitet. Dabei können die einzelnen Flächen unterschiedlich aneinander gereiht werden. Wichtig ist, dass sich eine Pyramide bildet, wenn man das Netz an den Kanten faltet.

 

Es gibt weitere Arten von Pyramiden, die alle unterschiedliche Grundflächen haben und somit auch verschiede Anzahlen an Dreiecken in der Mantelfläche besitzen. Aber dazu später mehr.

Pyramide berechnen

Kommen wir zum spannenden Teil des Artikels und somit auch zu dem Teil, in dem du lernen kannst, wie du Schritt für Schritt Pyramiden berechnen kannst.
Berechnen wir als Erstes das Volumen.

Die allgemeine Formel zur Volumenberechnung lautet:

V = 1/3 * G *h

 G die Grundfläche und h die Höhe

Kommen wir zur Oberfläche – die allgemeine Formel lautet:

O = G + M

G ist die Grundfläche und M die Mantelfläche

Du fragst dich was hinter G und M steckt? Dies hängt von der Grundfläche der Pyramide ab, da sie verschiedene Formen annehmen kann. Somit ist die Mantelfläche ebenfalls abhängig. Das heißt, je nachdem wie viele Seiten die Grundfläche hat, hat die Mantelfläche Dreiecke als Seitenfläche.

Ich zeige dir zwei Beispiele, mit denen ich dir das Berechnen von Pyramiden näher bringen werde.

Quadratischen Pyramide

Volumen

Der erste Schritt ist es, sich immer Gedanken über die Grundfläche zu machen. Diese Pyramide hat als Grundfläche ein Quadrat. Die Flächenformel für das Quadrat ist Seite multipliziert mit der Seite. In dem Fall sind die Seiten gleich lang.
A = a * a = a²

Um also das Volumen einer quadratischen Pyramide zu berechnen, muss man das G, durch a² ersetzen. Somit lautet die Formel:
V = 1/3 * a² * h

Nehmen wir an, dass die Seiten der Grundfläche a= 5cm ist und die Höhe h= 8cm. Dann wird das Volumen so ausgerechnet:
V= 1/3 * 5² * 8
V= 1/3 * 25 * 8
V= 66,66cm³

Somit beträgt das Volumen 66,66cm³.

Oberfläche

Um die Oberfläche zu berechnen, brauchst du G und M. G haben wir schon ausgerechnet (G = 25cm²) also bleibt noch M. Für die Mantelfläche brauchst du den Flächeninhalt eines Dreieckes.

Dieser lautet:

A = ½ * ha * a

ha ist die Höhe des Dreiecks

Nehmen wir an, dass die Dreieckshöhe ha = 7 ist. Dann wird die Dreiecksfläche so ausgerechnet:
A = ½ * 7 * 5
A = 17,5 cm²

Um die gesamte Mantelfläche berechnen zu können, muss diese Dreiecksflächen mit 4 multipliziert werden, da die quadratische 4 solcher Dreiecksflächen hat.

M = 4 * 17,5cm²
M = 70cm²

Somit beträgt die Mantelfläche 70cm².

Jetzt gibst du die Werte in die Oberflächenformel ein.

O = G + M
O = 25cm² + 70cm²
O = 95cm²

Somit hat die Pyramide eine Oberfläche von 95cm².

Rechteckige Pyramide

Das zweite Beispiel ist eine rechteckige Pyramide.

Volumen

Auch hier ist dein erster Schritt wieder die Grundfläche. Diese Pyramide hat ein Rechteck als Grundfläche. Die Flächenformel für ein Rechteck lautet:
A = a * b

Also wird G durch a * b in der Volumenformel ersetzt. Dies sieht dann wie folgt aus:
V = 1/3 * a * b * h

Seite a ist 6cm und Seite b ist 5cm lang, die Pyramide ist 9cm hoch.
V = 1/3 * 6 * 5 * 9
V = 89,9cm³

Das Volumen der rechteckigen Pyramiden beträgt 89,9cm³.

Oberfläche

Die Grundfläche haben wir schon oben berechnet. Die Mantelfläche besteht auch hier aus vier Dreiecken. Wie bei einem Rechteck, sind auch hier die gegenüberliegenden Seiten gleich groß. Die Flächenformeln lauten dementsprechend:

Aa = ½ * a * ha

Ab = ½ * b * hb

ha ist die Höhe des Dreiecks auf der Seite a

hb ist die Höhe des Dreiecks auf der Seite b

Uns ist weder Seitenhöhe ha noch Seitenhöhe hb bekannt. Diese können wir durch die Anwendung des Satz des Pythagoras bestimmen, denn dieser stellt eine Beziehung zwischen der drei Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks her.

Dabei ist die eine Kathete die Höhe der Pyramide h und die zweite Kathete ist jeweils die Hälfte der Seiten a oder b. Die Hypotenuse ist somit ha bzw. hb.
Rechnerisch sieht dies so aus:

Für Seite b – nach hb umstellen:
a/2² + h² = hb²  –> hb=√(a/2² + h² )

Für Seite a – nach ha umstellen:
b/2² + h² = ha² –>  ha=√( b/2² + h²)

Setz die Werte, die du hast ein und berechne die Seitenhöhen.
hb=√( a/2² + h² )                                               ha= √( b/2² + h² )
hb=√( 6/2² + 9² )                                               ha= √( 5/2² +9² )
hb= 9,49 cm                                                         ha= 9,34 cm

Jetzt können wir endlich den Dreiecksflächeninhalt bestimmen.

Aa = ½ * a * ha                                                     Ab = ½ * b * hb
Aa = ½ * 6 * 9,34                                                 Ab = ½ * 5 * 9,49
Aa = 28,02 cm²                                                    Ab = 23,73cm²

Die Mantelfläche besteht aus zwei mal den Flächeninhalten der Seiten a und b.

M = 2 * Aa + 2 * Ab
M = 2 * 28,02 + 2 * 23,73
M = 56,04 + 47,46
M = 103,5 cm²

Die Oberfläche ist nun leicht zu bestimmen.

O = 30cm² + 103,5cm²
O = 133,5cm²

Somit beträgt die Oberfläche 133,5cm².

Besondere Arten von Pyramiden

Bezeichnung

Skizze

Formel

Dreiecks Pyramide

Volumen:
G = ¼ * a² * √3 * h
V = ⅓ * ¼ *a² * √3 * h


Oberfläche:
Aa = ½ * a * ha
Ab = ½ * b * hb
Ac = ½ * c * hc


M = Aa + Ab + Ac
O = G + M

Quadratische Pyramide

Volumen:
G = a²
V = ⅓ * a² * h


Oberfläche:
A = ½ * a * ha


M = 4 * ½ * a * ha
O = G + M

Rechteckige Pyramide

Volumen:
G = a * b
V = 1/3 * a * b * h


Oberfläche:
Aa = ½ * a * ha
Ab = ½ * b * hb


Teildreiecke - Satz des

Pythagoras

hb² = a/2² + h²

ha² = b/2² + h²


M = 2 * Aa + 2 * Ab
O = a * b + 2 * Aa + 2 * Ab

Sechseckige Pyramide

Volumen:
G = a² * √3 * 2/3
V = 1/3 * a² * √3  * 2/3 * h


Oberfläche:
Teildreicke - Satz des Pythagoras
ha² = h² + hg²
s² = h² + a²
s² = ha² + a/2²


M = ½ * a * ha * 6 

M = a * ha * 3
O = a² * √3 * 2/3 + a * ha * 3

Hier findest du die Tabelle zum Downloaden: Besondere Arten von Pyramiden

Pyramiden Übungen

Damit du dein Wissen vertiefen und anwenden kannst, findest du hier einige Aufgaben zum lösen.

Gib die Grund-, die Mantel- und die Oberfläche der quadratischen Pyramide an.

Grundfläche: 289 cm

Mantelfläche: 605,2 cm

Oberfläche: 894,2 cm

Berechne die fehlenden Werte der quadratischen Pyramiden.

a)

G = 87cm²

M = 100cm²

O = ?

b)

G = 57cm²

M = ?

O =193cm²

c)

a = 15cm

h Dreieck = 36cm

O = ?

d)

a = 13cm

h Dreieck = ?

0 = 793cm²

a)

G = 87cm²

M = 100cm²

O = 187cm²

b)

G = 57cm²

M = 136cm²

O = 193cm²

c)

a = 15cm

h Dreieck = 36cm

O = 1305cm²

d)

a = 13cm

h Dreieck = 26cm

O = 793cm²

Das Volumen einer quadratischen Pyramide beträgt 5.355cm³. Eine Seite der Grundfläche ist 42cm lang. Wie hoch ist die Pyramide?

Die Pyramide ist 255cm hoch.

Berechne alle Werte der folgenden Pyramide.

Pyramide

1

2

3

4

Grundkante a

7,5cm

28dm

19,5m

?

Grundkante b

12cm

10,2dm

?

26,1m

Pyramidenhöhe h

8cm

?

7m

6m

Volumen

?

1428dm³

364m³

1305m³

Pyramide

1

2

3

4

Grundkante a

7,5cm

28dm

19,5m

25m

Grundkante b

12cm

10,2dm

8m

26,1m

Pyramidenhöhe h

8cm

5dm

7m

6m

Volumen

240cm³

1425dm³

364m³

1305m³

Pyramiden berechnen – FAQ

Was ist eine Pyramide?

Eine Pyramide besteht aus Grundfläche und Mantelfläche. Dabei besteht die Mantelfläche aus Dreiecken.

Was ist ein Netz einer Pyramide?

Als Netz einer Pyramide bezeichnet man alle Seite der Pyramide auf einer Ebene ausgebreitet.

Wie lautet die allgemeine Volumen Formel einer Pyramide?

V = 1/3 * G * h

Wie lautet die allgemeine Oberflächenformel einer Pyramide?

O = M * G

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