(Noch keine Bewertungen)
Loading...
In der Kurvendiskussion hilft dir der Wendepunkt dabei zu verstehen, wie sich Funktionen verhalten und ihre Steigung verändert.
Wie du diesen Wendepunkt berechnen kannst und auf welche Besonderheiten du dabei achten musst, wirst du in den folgenden Minuten wirst du erfahren.
Na dann, nichts wie Los!
Stell dir vor, du sitzt auf einer Achterbahn, die dich schleunigst vom Anstieg aus hinunter der viele steilen Strecken auf und ab führt und die scharfen Kurven dich nach links und rechts in deinem Sitzt schleudern.
So kannst du dir einen Graphen vorstellen, dessen Wendepunkt sich genau in dem Moment befindet, in dem dein Fahrerlebnis eine dramatische Wendung nimmt.
Wie kannst du den Wendepunkt berechnen- Eine Schrittweise Erklärung
Damit du den Wendepunkt berechnen kannst, musst du folgende Bedingungen folgen:
Die Bedingungen zur Berechnung der Wendepunkte
- (notwendige) Bedingung: Du musst die 2. Ableitung gleich 0 setzen, um herauszufinden, an welcher Stelle sich der Wendepunkt befindet, wobei keine Linkskrümmung oder Rechtskrümmung an der Wendestelle stattfindet.
- (hinreichende) Bedingung: Jetzt prüfst du, ob sich dort tatsächlich ein Wendepunkt befindet, indem du die dritte Ableitung gleich Null setzt, denn wenn das Ergebnis ungleich Null ist, handelt es sich um einen Wendepunkt.
Stellt sich heraus das Ergebnis ist Null, musst du anhand eines Verfahrens prüfen, ob es sich um einen Sattelpunkt handelt oder ob sich doch ein Wendepunkt errechnet. Es gilt:
notwendige Bedingung:
-> f′′(x) = 0
hinreichende Bedingung:
-> f′′(x) ≠ 0
Wendepunkte berechnen anhand einer Beispielaufgabe
Nun da du die Rechenschritte kennst, können wir gemeinsam einen Wendepunkt bestimmen, aber wenn du möchtest, kannst du versuchen den Wendepunkt zuerst selbst zu ermitteln, bevor du dir die Schritt für Schritt Erklärung anschaust.
Aufgabe: 𝑓(𝑥) = x³ + 3x²
1. Zuerst bestimmen wir alle Ableitungen:
𝑓’(𝑥) = 3x²+ 6x
𝑓’’(𝑥)= 6x + 6
𝑓’’’(𝑥)= 6
2. Setzen wir die 2. Ableitung gleich Null
6x + 6= 0 | – 6
6x = -6 | : 6
x= – 1
3. Nun setzen wir den x- Wert in die ursprüngliche Funktion ein, um die y-Koordinate zu bestimmen.
𝑓(-1) = (-1)³ + 3 • (-1)² = 2
-> der Wendepunkt ist (-1/2)
4. Als nächstes bestimmen wir das Krümmungsverhalten:
𝑓’’’(𝑥)= 6
6>0
Da es nicht möglich ist, das x einzusetzen, müssen wir uns nur die 3. Ableitung anschauen. Da 6>0 handelt es sich hierbei um ein Recht-links Wendepunkt.
Eine Nullstelle in der 3. Ableitung
Erhältst du bei der 3. Ableitung eine Nullstelle, erfüllt die Funktion nicht die hinreichende Bedingung.
Nichtsdestotrotz solltest du noch einmal überprüfen, ob es sich wirklich um keinen Wendepunkt handelt, in dem du durch die 2. Ableitung das Krümmungsverhalten der potenzialen Wendepunkte ermittelst.
Sattelpunkt oder Wendepunkt: Schrittweise erklärt
Lass uns durch ein Beispiel sehen wie du in solch einem Sonderfall vorgehen musst:
Du hast möglicherweise ein Wendepunkt bei x= 6 und nachdem du die dritte Ableitung berechnet hast erhältst du eine Nullstelle. Nun berechnet du das Krümmungsverhalten von x= 5 und x= 7, indem du diese beiden Punkte in die zweite Ableitung einsetzt.
Es handelt sich um einen Wendepunkt zwischen x= 5 und x= 7, wenn die Ergebnisse der zweiten Ableitung ein Krümmungsverhalten von rechts nach links oder links nach rechts vorweisen können.
Es handelt sich, um keinen Wendepunkt, wenn beide Berechnungen der 2. Ableitung rechtskrümmig oder linkskrümmig sind.
Wendepunkt bestimmen – Beispielaufgaben zum Üben
Bestimme den Wendepunkt:
f (x) = 0,25x4−3,5 x³−45x²+ x+1
Weitere Übungsaufgaben kannst du noch hier finden.
FAQ
Was ist ein Wendepunkt?
Ein Wendepunkt ist eine Stelle, in dem der Graph seine Richtung von rechts nach links oder von links nach rechts wechselt.
Wie kann ich den Wendepunkt berechnen?
- alle Ableitungen berechnen
- f”(x)=0
- Nullstellen der f”(x) in f”'(x)
- Krümmungsverhalten bestimmen
- x-Koordinate in die Funktion f (x) einsetzen und nach y ausrechnen