Scheitelpunktform – in wenigen Minuten erklärt

1 Stern2 Sterne3 Sterne4 Sterne5 Sterne 4,50 von 5 SterneLoading...

In diesem Artikel erkläre ich dir, was eine Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion ist und wie du sie berechnen und den Scheitelpunkt ablesen kannst.

Außerdem lernst du, wie du Scheitelpunkte rechnerisch bestimmen kannst. Um dein Wissen zu vertiefen, stelle ich dir am Schluss noch ein paar Aufgaben mit Lösungen bereit.

Bereit? Na dann, los!

Die Scheitelpunktform ist eine mathematische Form, um eine quadratische Funktion darzustellen.

Die allgemeine Scheitelpunktform lautet:

f (x) = a (x- d) ² + e

S (d / e)

a: Streckung, Stauchung, Öffnungsrichtung
d: Verschiebung in x-Richtung
e: Verschiebung in y-Richtung

In dieser Form kann der Scheitelpunkt also sofort abgelesen werden.
Der Scheitelpunkt wird mit S abgekürzt. Wie bei einem gewöhnlichen Punkt ist die erste Zahl die x-Koordinate und die zweite die y-Koordinate.

Scheitelpunkt

Bei einer positiven quadratischen Funktion ist der Funktionsgraph nach oben geöffnet. Diese Parabel hat ihren Tiefpunkt als Scheitelpunkt. Die negative Funktion ist nach unten geöffnet und hat als Scheitelpunkt ihren höchsten Punkt.

Wie bestimme ich einen Scheitelpunkt?

Den Scheitelpunkt kannst du rechnerisch bestimmen. Ich zeige dir dazu 3 verschiedene Methoden, wie du den Scheitelpunkt bestimmen kannst.

1) mit Hilfe der Scheitelpunktform
Wie oben erwähnt, kannst du den Scheitelpunkt direkt aus der Scheitelform ablesen und bestimmen.

Was hier wichtig ist, ist das Vorzeichen in der Klammer!

Beispiel:

1. f (x) = 3 (x² – 2) ² +2
Hier kann man den Scheitelpunkt direkt ablesen, da die Funktion genau wie die Scheitelpunktform aussieht.

Der Scheitelpunkt liegt bei S (2 / 2).

2. f (x) = 3 (x² + 2) ² + 2

Hier kann man den Scheitelpunkt ebenfalls ablesen, du musst allerdings auf das Vorzeichen in der Klammer achten, es muss ein Minuszeichen sein.

Dann heißt die Funktion:

f (x) = 3 (x² – (- 2)) ² + 2

Und der Scheitelpunkt liegt bei S (-2/2).

2) mit Hilfe der allg. Form (Quadratische Ergänzung)

Bei der quadratischen Ergänzung wird von der allgemeinen Form in die Scheitelform umgewandelt. Es gibt vier einfache Schritte zu befolgen, um richtig umzuwandeln.

Dazu ein Beispiel:

Nehmen wir die Funktion f(x) = – ½ x² + x + 2

1. Schritt: f (x) = – ½ (x² – 2x) + 2
2. Schritt: f (x) = – ½ (x² – 2x + (2/2) ² – (2/2) ²) + 2
2. Schritt : f(x) = – ½ (x² – 2x +1 -1) + 2
3. Schritt: f (x) = – ½ (x² – 2x + 1) + 2 + ½
4. Schritt: f (x) = – ½ (x² – 1) ² + 2,5

Der Scheitelpunkt liegt bei S (1/ 2,5).

3) mit Hilfe der Ableitung

Wie ich dir schon oben erzählt habe, ist der Scheitelpunkt der Extrempunkt einer Funktion. Bei der Differenzialrechnung kannst du durchs Ableiten der Funktion ebenfalls den Scheitelpunkt berechnen.

Hier kannst du diese Schritte befolgen um den Scheitelpunkt zu erhalten:

Beispiel:

Nehmen wir die Funktion f (x) = 2x² + 4x + 3

1. Schritt: f‘ (x) = 4x + 4

2. Schritt: f‘(x) = 0

f‘(x) = 0
0 = 4x +4          | -4
– 4 = 4x              |: 4
– 1  = x

3. Schritt:

f (-1) = 2 (-1) ² + 4 * (-1) + 3
f (-1) = 2 – 4 + 3
f (-1) = 1

Somit liegt der Scheitelpunkt bei S ( -1 / 1).

Soweit alles gut? Damit du dein Wissen nochmal überprüfen kannst, kannst du die folgenden Aufgaben bearbeiten und deine Ergebnisse mit dem Lösungsweg abgleichen. Viel Erfolg!

Scheitelpunktform – Aufgaben mit Lösungsweg

f (x) = x² + 8x – 4

S (- 4 / – 20 )

f (x) = x² – 6x +10

S ( 3 / 1 )

f (x) = 3x² +12x – 3

S ( -2 / -15 )

f (x) = 5x² + 50x + 35

S ( -5 / -90 )

f (x) = 6 (x + 3) ² + 9

S ( -3 / 9 )

Hier findest du die Rechenwege: Lösungen mit Rechenweg

Scheitelpunktform – FAQ

Was ist die Scheitelform?

Die Scheitelform ist eine Form für quadratische Funktion. Hier kann man, wie der Name schon verrät, den Scheitelpunkt ablesen.

Was ist der Scheitelpunkt?

Der Scheitelpunkt ist ein Extrempunkt. Je nach Parabelöffnung gibt es einen Tief- oder einen Hochpunkt.

Quadratische Ergänzung - was ist das?

Die quadratische Ergänzung ist ein mathematischer Schritt, bei der die Normalform in die Scheitelform umgewandelt wird.

Konnte dir dieser Artikel weiterhelfen? Wir sind gespannt auf deinen Kommentar und freuen uns auf deine Sternebewertung. Vielen Dank! 1 Stern2 Sterne3 Sterne4 Sterne5 Sterne 4,50 von 5 SterneLoading...

Kommentar verfassen

Deine E-Mail-Adresse wird nicht veröffentlicht.

[class^="wpforms-"]
[class^="wpforms-"]
[class^="wpforms-"]
[class^="wpforms-"]
[class^="wpforms-"]
[class^="wpforms-"]
[class^="wpforms-"]
[class^="wpforms-"]