Satz von Bayes schnell verstehen - mit Beispielaufgaben

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Der Satz von Bayes ist eine wichtige Regel aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Mit ihm kann man die bedingte Wahrscheinlichkeit zweier Ereignisse bestimmen, wenn eine der beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten schon bekannt ist. Der Satz von Bayes wird auch Formel von Bayes oder Bayes Theorem genannt.

In diesem Artikel erfährst du, was hinter dem Satz von Bayes steckt, wie er hergeleitet wird und wie er sich mit anschaulichen Beispielen leicht verstehen lässt.

Inhalt

Der Satz von Bayes einfach erklärt

Mit dem Satz von Bayes kann man also die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B bestimmen, unter der Bedingung, dass A bereits eingetreten ist.

Der Satz von Bayes lautet:

$P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) \cdot P(A)}{P(B)}$

Das bedeuten die einzelnen Bestandteile:
P(A) ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A
P(B) ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B
P(A|B) ist die bedingte Wahrscheinlichkeit von A falls B schon eingetreten ist
P(B|A) ist die bedingte Wahrscheinlichkeit von B, falls A schon eingetreten ist.

Anwendung des Satz von Bayes

Schauen wir uns das mal an einem kurzen Beispiel an:
Tom bekommt seit einiger Zeit viele Spam-Mails. Weil deshalb viele seiner Mails im Postfach untergehen, hat er ein Mailprogramm installiert, das Spam-Mails erkennen und aussortieren soll.

Dabei geht das Programm so vor:
20% aller Mails, die bei Tom eingehen, sind Spam.
In 90% der Spam-Mails kommt das Wort “Gewinn” vor.
In 5% der nicht-Spam-Mails kommt das Wort “Gewinn” ebenfalls vor.

Eines Morgens checkt Tom seine Mails und entdeckt eine neue Mail, die das Wort “Gewinn” enthält.

Computer auf Tisch. Email Symbol. Daneben Schrift, die die Aufgabe darstellt.

Wir wissen also:
P(Spam) = 0,2
P(kein Spam) = 0,8
P(Gewinn | Spam) = 0,9
P(Gewinn | kein Spam) = 0,05

Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei dieser Mail wirklich um Spam handelt? → gesucht: P(Spam | Gewinn)

Nun gehen wir Schritt für Schritt vor: Die gegebenen Wahrscheinlichkeiten und das Gesuchte haben wir bereits festgehalten.
Zuerst müssen wir die Gesamtwahrscheinlichkeit für “Gewinn” berechnen. Das machen wir mit dem Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit.

1. Gesamtwahrscheinlichkeit berechnen

P(Gewinn) = P(Gewinn∣Spam)⋅P(Spam)+P(Gewinn∣kein Spam)⋅P(kein Spam)

P(Gewinn) = 0,9⋅0,2+0,05⋅0,8 = 0,22

2. Bayes Formel anwenden

$P(\text{Spam} \mid \text{Gewinn}) = \frac{P(\text{Gewinn} \mid \text{Spam}) \cdot P(\text{Spam})}{P(\text{Gewinn})}\]\[= \frac{0{,}9 \cdot 0{,}2}{0{,}22}= \frac{0{,}18}{0{,}22} = \frac{18}{22} \approx 0{,}818$

→ Unter allen Mails, die das Wort “Gewinn” enthalten, sind also um die 82% wirklich Spam-Mails.

Zusammenhang mit der bedingten Wahrscheinlichkeit

Der Satz von Bayes baut direkt auf die bedingte Wahrscheinlichkeit auf.

Die bedingte Wahrscheinlichkeit bedeutet wie wahrscheinlich ein Ereignis A ist, wenn man schon weiß, dass B passiert ist → P(A|B)

Der Satz von Bayes ist eine Umformung davon. Er zeigt, wie man P(A|B) ausdrücken kann, wenn man P(B|A) und die Grundwahrscheinlichkeiten von A und B kennt.

Herleitung des Satz von Bayes

Der Satz von Bayes lässt sich also direkt aus der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit ableiten.

Zunächst gilt für die Ereignisse A und B:

$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \quad \text{und} \quad P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

Diese Formeln beschreiben die gemeinsame Wahrscheinlichkeit P(A∩B) aus der Sicht von A und der Sicht von B.

Wenn man sie gleichsetzt, erhält man
P(A|B)⋅P(B)=P(B|A)⋅P(A)

Jetzt können wir nach P(A|B) auflösen:

$P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) \cdot P(A)}{P(B)}$

Aufgaben zum Satz von Bayes

Jetzt kannst du das Gelernte an einer Aufgabe anwenden:

Jule hat einen Minijob im Kino, wo sie Popcorn und Getränke verkauft.
Sie weiß:
40% der Kinobesucher kaufen Popcorn
60% der Kinobesucher kaufen kein Popcorn
70% von denen, die Popcorn kaufen, kaufen auch ein Getränk
20% von denen, die sich kein Popcorn kaufen, kaufen sich ein Getränk
Die erste Person in ihrer Schicht bestellt eine große Cola. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie auch Popcorn kauft?

Person im Kino, um sie herum Popcorn und Cola. Daneben Wahrscheinlichkeitsbezeichnungen aus der Aufgabe.

Gegeben:

$P(P)=0{,}4,\quad P(\overline{P})=0{,}6,\quad P(G\mid P)=0{,}7,\quad P(G\mid \overline{P})=0{,}2 \]$
Dabei bedeuten:

P: Person kauft Popcorn

$\overline{P}:$ Person kauft kein Popcorn

G: Person kauft ein Getränk (Cola)

Gesucht:

$P(P \mid G)$

Gesamtwahrscheinlichkeit für ein Getränk mit dem Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit berechnen:

$P(G)=P(G\mid P)\,P(P) + P(G\mid \overline{P})\,\\ P(\overline{P})= 0{,}7\cdot 0{,}4 + 0{,}2\cdot 0{,}6\\ = 0{,}28 + 0{,}12 = 0{,}40. \]$

Bayes-Formel anwenden:

$P(P\mid G) = \frac{P(G\mid P)\,P(P)}{P(G)} = \frac{0{,}7\cdot 0{,}4}{0{,}40} = \frac{0{,}28}{0{,}40} = 0{,}7.$

Ergebnis:

$\boxed{P(P\mid G)=0{,}7 = 70\%}$

Wenn die Person ein Getränk kauft, liegt die Wahrscheinlichkeit, dass sie auch Popcorn kauft, bei 70%.

Der Satz von Bayes und das Ziegenproblem

Abbildung des Ziegenproblems: 3 Türen, zwei davon geschlossen. Eine geöffnet, darin eine Ziege. vor den geschlossenen Türen steht eine Person mit dem Rücken zu uns. über ihr ein Fragezeichen.

Vielleicht hast du schonmal was vom Ziegenproblem, oder auch Monty-Hall-Problem gehört.
Auch das lässt sich mit dem Satz von Bayes gut erklären.

Was ist das Ziegenproblem?

Das Ziegenproblem ist aus einer Spielshow entstanden, bei der ein Kandidat ein Auto gewinnen kann.
Bei dem Spiel gibt es drei verschlossene Türen. Hinter zwei der Türen ist jeweils eine Ziege, hinter einer ist das Auto, das gewonnen werden kann.
Der Kandidat darf zunächst eine Tür auswählen. Daraufhin öffnet der Moderator, der den Inhalt kennt, eine der anderen Türen, hinter der sich die Ziege befindet. Nun darf der Kandidat entscheiden, ob er eine andere Tür wählt, oder seine Wahl beibehält.

Jetzt denkst du vielleicht, dass es egal ist, ob man wechselt oder nicht, weil zwei Türen übrig bleiben. Mit dem Satz von Bayes lässt sich aber zeigen, dass diese Vermutung falsch ist.

Herleitung

Zu Beginn ist die Wahrscheinlichkeit, das Auto zu wählen, gleichmäßig verteilt:
P(Auto hinter Tür 1) = P(Auto hinter Tür 2) = P(Auto hinter Tür 3) = ⅓
Angenommen, der Spieler wählt Tür 1 und der Moderator Tür 3, mit der Ziege. Nun können wir mit dem Satz von Bayes die Wahrscheinlichkeiten anpassen.
Falls das Auto tatsächlich hinter Tür 1 ist, kann der Moderator entweder Tür 2 oder 3 öffnen. Die Wahrscheinlichkeit, dass er Tür 3 öffnet, beträgt ½. Falls das Auto hinter Tür 2 ist, muss der Moderator Tür 3 öffnen. Die Wahrscheinlichkeit hierfür ist 1. Falls das Auto hinter Tür 3 ist, kann er die Tür nicht öffnen. Die Wahrscheinlichkeit ist also 0.

Gesamtwahrscheinlichkeit bestimmen

Daraus können wir die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass der Moderator Tür 3 öffnet bestimmen:

$P(\text{Tür 3 offen}) = \tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3}\cdot 1 + \tfrac{1}{3}\cdot 0 = \tfrac{1}{2}.$

Auf den Satz von Bayes übertragen

$P(\text{Auto hinter Tür 1} \mid \text{Tür 3 offen}) = \frac{\tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{1}{3}}{\tfrac{1}{2}} = \tfrac{1}{3},\]\[ P(\text{Auto hinter Tür 2} \mid \text{Tür 3 offen}) = \frac{1\cdot \tfrac{1}{3}}{\tfrac{1}{2}} = \tfrac{2}{3}.$

→ Bleibt der Kandidat bei seiner Wahl, hat er nur eine Gewinnchance von 1/3 . Wenn er die Tür wechselt, verdoppelt sich seine Gewinnwahrscheinlichkeit auf ⅔.

Häufig gestellte Fragen

Was besagt der Satz von Bayes?

Der Satz von Bayes besagt, dass die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A unter der Bedingung des Ereignisses B berechnet werden kann.

Wie ist die Bayes-Regel zu verstehen?

Die Bayes-Regel zeigt, wie man Wahrscheinlichkeiten nach neuen Informationen anpasst.

Was ist die Bayes-Regel in der BWL?

In der BWL kann die Bayes-Regel genutzt werden, um Entscheidungen unter Unsicherheit zu verbessern. Hier wird sie auch Erwartungsregeln genannt.

Was ist die Bayessche Analyse?

Die Bayessche Analyse ist ein Verfahren aus der Statistik, mit dem man Vorhersagen und Entscheidungen verbessern kann.

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Satz von Bayes schnell verstehen – mit Beispielaufgaben

Der Satz von Bayes einfach erklärt

Der Satz von Bayes lautet:

Anwendung des Satz von Bayes

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