Geometrisches Mittel – einfach Schritt für Schritt erklärt

Kommentar verfassen / Klasse 10, Mathematik
1 Stern2 Sterne3 Sterne4 Sterne5 Sterne (Noch keine Bewertungen)
Loading...

Hast du schon mal vom geometrischen Mittel gehört, weißt aber noch nicht so genau, was das eigentlich ist? Keine Sorge! 

In diesem Artikel lernst du einfach und verständlich:

  • Was das geometrische Mittel genau ist (Definition).
  • Wie du die Formel korrekt anwendest, um das geometrische Mittel zu berechnen.
  • Worin die entscheidenden Unterschiede zum arithmetischen und harmonischen Mittel liegen.
  • Wie du dein Wissen mit einigen Übungsaufgaben festigen kannst.

Legen wir gleich los!

Was ist das geometrische Mittel?

Das geometrische Mittel ist ein sogenannter Lageparameter aus der deskriptiven Statistik. Vereinfacht gesagt, ist es ein spezieller Durchschnitt, der immer dann verwendet wird, wenn du die mittlere prozentuale Veränderung von Werten berechnen willst.

Die Anwendung ist daher ideal für die Analyse von Wachstumsraten, wie zum Beispiel bei der Preissteigerung über mehrere Jahre oder Monate oder bei der Berechnung der durchschnittlichen Rendite von Geldanlagen mit Zinsraten.

Was bedeuten die Symbole in der Formel des Geometrischen Mittels?

Keine Panik! Das sieht komplizierter aus, als es ist.

Im Grunde tust du nur zwei Dinge:

  • Multiplizieren: Du multiplizierst alle deine Werte (x_1, x_2 usw.) miteinander und erhältst ein Produkt.
  • Wurzel ziehen: Aus diesem Produkt ziehst du die n-te Wurzel, wobei n die Anzahl deiner Werte ist.

In der Mathematik wird das Multiplizieren vieler Zahlen oft mit dem Produktzeichen \Pi (dem griechischen Buchstaben Pi) abgekürzt. Es ist der “Bruder” des bekannten Summenzeichens \Sigma. Die Formel sieht dann so aus:

\huge \bar{x}_{geom} = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n} x_i}

\bar{x}_{geom}: Das ist das Symbol für das geometrische Mittel. Es setzt sich so zusammen:

  • Der Balken über dem x (\bar{x}) ist das allgemeine mathematische Zeichen für einen Mittelwert (Durchschnitt).
  • Der tiefgestellte Zusatz geom steht für „geometrisch“ und stellt klar, dass es sich nicht um das arithmetische oder harmonische Mittel handelt.

Die kleinen Symbole am Produktzeichen erklären dabei den genauen “Weg” der Multiplikation:

  • i=1 (unten): Das ist der Startpunkt. Du beginnst die Multiplikation beim ersten Wert (x_1).
  • n (oben): Das ist der Endpunkt. Du multiplizierst so lange, bis du beim letzten Wert (x_n) angekommen bist.

Wenn wir also beispielsweise drei Werte haben, dann ist n = 3. Die allgemeine Formel schlüsselt sich dann wie folgt auf:

\huge \bar{x}_{geom} = \sqrt[3]{\prod_{i=1}^{3} x_i} = \sqrt[3]{x_1 \cdot x_2 \cdot x_3}

Ganz wichtig: Prozentzahlen in Wachstumsfaktoren umwandeln

Wenn du das geometrische Mittel für prozentuale Veränderungen (z.B. Zinsen, Preissteigerungen) berechnest, darfst du niemals die Prozentzahlen direkt in die Formel einsetzen. Du musst sie zuerst in sogenannte Wachstumsfaktoren umwandeln.

  • Bei einer Zunahme rechnest du: 1 + \frac{Prozent}{100}
  • Bei einer Abnahme rechnest du: 1 - \frac{Prozent}{100}

Beispiele:

  • Eine Zunahme um 10 % wird zum Wachstumsfaktor 1,1.
  • Eine Abnahme um 10 % wird zum Wachstumsfaktor 0,9.
  • Eine Zunahme um 5 % wird zum Wachstumsfaktor 1,05.

Wichtig!

Aus negativen Zahlen kann keine Wurzel gezogen werden.
Achte deshalb drauf, dass der Wert unter der Wurzel nicht negativ ist.

Geometrisches Mittel berechnen:
Anwendungsbeispiel Wachstumsfaktor 

Mit einem Beispiel ist es einfach erklärt. Stell dir vor, die Preise für einen Döner haben sich in den letzten Monaten wie folgt entwickelt:

Mai  Juni Juli August September
3,20 € 3,80 € 4,10 € 3,70 € 4,20 €

Berechnung der Wachstumsfaktoren

Schritt 1: Um das geometrische Mittel zu berechnen, brauchen wir die Wachstumsfaktoren für jeden Monat. Es gibt zwei gängige Wege, um diese zu ermitteln:

Möglichkeit 1: Der direkte Weg

Du kannst den Wachstumsfaktor direkt berechnen, indem du den neuen Preis durch den Preis des Vormonats teilst.

Die Formel dafür lautet: \text{Wachstumsfaktor} = \frac{\text{Neuer Wert}}{\text{Alter Wert}}

  • Juni: \frac{3,80}{3,20} = 1,1875
  • Juli: \frac{4,10}{3,80} \approx 1,0789
  • … und so weiter.

Möglichkeit 2: Über die prozentuale Veränderung

Alternativ berechnest du zuerst die prozentuale Veränderung und wandelst diese dann in einen Wachstumsfaktor um.

Dafür berechnest du die monatliche Veränderung, indem du den Preis des Vormonats vom aktuellen Preis abziehst und das Ergebnis durch den Preis des Vormonats teilst.

Die Formel dafür lautet: \text{Veränderung in \%} = \frac{\text{Neuer Wert} - \text{Alter Wert}}{\text{Alter Wert}} \cdot 100

  • Juni: \frac{3,80 - 3,20}{3,20} \cdot 100 = 18,75 \%
  • Juli: \frac{4,10 - 3,80}{3,80} \cdot 100 \approx 7,89 \%
  • August: \frac{3,70 - 4,10}{4,10} \cdot 100 \approx -9,76 \%
  • September: \frac{4,20 - 3,70}{3,70} \cdot 100 \approx 13,51 \%
Juni  Juli August September
18,75 % 7,89 % -9,76 % 13,51 %

Diese Prozentzahlen wandelst du anschließend wie bekannt in Wachstumsfaktoren um (z.B. 1 + 18,75 / 100 = 1,1875).

Egal welchen Weg du wählst, du erhältst die gleichen vier Wachstumsfaktoren, mit denen wir jetzt weiterrechnen: 1,1875, 1,0789, 0,9024 und 1,1351.

Nun ist die Frage: Wie hat sich der Preis für Döner im Durchschnitt prozentual verändert?

Werte einsetzen und das geometrische Mittel berechnen

Schritt 2: Jetzt, wo wir unsere Wachstumsfaktoren haben, setzen wir sie Schritt für Schritt in die Formel ein.

  1. Die allgemeine Formel: Der Ausgangspunkt ist immer die allgemeine Formel mit dem Produktzeichen.\bar{x}_{geom} = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n} x_i}
  2. Die Formel für unseren Fall aufschlüsseln: Wir haben 4 Werte, also ist n=4. Wir setzen die Werte in die Formeln ein: \bar{x}_{geom} = \sqrt[4]{\prod_{i=1}^{4} x_i} = \sqrt[4]{1,1875 \cdot 1,0789 \cdot 0,9024 \cdot 1,1351}
  3. Zahlen unter der Wurzel multiplizieren: Nun berechnen wir das Produkt der Zahlen unter der Wurzel:1,1875 \cdot 1,0789 \cdot 0,9024 \cdot 1,1351 \approx 1,3136 Unsere Formel vereinfacht sich zu: \bar{x}_{geom} = \sqrt[4]{1,3136}
  4. Die Wurzel ziehen: Zuletzt ziehen wir die 4. Wurzel aus dem Ergebnis. Dies ist der durchschnittliche Wachstumsfaktor: \bar{x}_{geom} \approx 1,0706

Das bedeutet, dass der Preis für Döner sich im Durchschnitt um 7% verändert hat.

Geometrisches, Arithmetisches & Harmonisches Mittel: Der Unterschied

Alle drei sind “Mittelwerte“, aber sie werden für völlig unterschiedliche Situationen gebraucht. Den falschen Mittelwert zu wählen, führt schnell zu einem falschen Ergebnis. Der Unterschied ist aber einfach zu merken.

Das Arithmetische Mittel – Der “normale” Durchschnitt

Das ist der Durchschnitt, den du von Schulnoten kennst. Du addierst einfach alle Werte und teilst die Summe durch die Anzahl der Werte (mehr Infos).

  • Wann verwenden? Für unabhängige Werte, die sich nicht gegenseitig beeinflussen, wie z.B. Körpergrößen oder die tägliche Niederschlagsmenge.
  • Beispiel: Du schreibst in drei Tests die Noten 2, 3 und 4. Dein Notendurchschnitt ist \frac{2+3+4}{3} = 3.
  • Formel: \bar{x}_{arithm} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i

Das Geometrische Mittel – Der Durchschnitt für Wachstumsraten

Wie wir im Artikel gelernt haben, ist das die richtige Wahl für Werte, die aufeinander aufbauen, also multiplikativ zusammenhängen.

  • Wann verwenden? Für die Berechnung von durchschnittlichen Wachstumsraten, Zinsen oder prozentualen Veränderungen über die Zeit.
  • Beispiel: Das Wachstum deines Investments betrug im ersten Jahr +10 % (Faktor 1,1) und im zweiten +20 %(Faktor 1,2). Das durchschnittliche Wachstum ist das geometrische Mittel.
  • Formel: \bar{x}_{geom} = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n} x_i}

Das Harmonische Mittel – Der Durchschnitt für Verhältnisse

Das harmonische Mittel brauchst du immer dann, wenn es um Verhältnisse oder Raten geht.

  • Wann verwenden? Typischerweise bei Geschwindigkeiten (km/h), Preisen pro Einheit (€/Liter) oder Durchflussraten (Liter/Minute).
  • Beispiel: Du fährst eine Strecke mit 50 km/h hin und mit 100 km/h zurück. Deine Durchschnittsgeschwindigkeit ist nicht 75 km/h, sondern das harmonische Mittel, was ca. 66,7 km/h ergibt.
  • Formel: \bar{x}_{harm} = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}}

Das Geometrische Mittel mit Excel berechnen

  • Anfangs benötigen wir die erfassten Beträge, die jeweils zu einem Zeitpunkt zugeordnet sind, ermitteln
  • Anschließend müssen wir die Wachstumsraten bestimmen. Dafür teilen wir den nachgehenden bzw. aktuelleren Wert durch den vorigen Wert.
  • Wir setzen nun die ermittelten Werte ein. Dafür geben wir in die Zelle bei Excel "="Wert1"/"Wert2"" ein. Alternativ kann man auch die Zellen anklicken (bspw. "=C2/B2"
  • Durch Eingabe der Entertaste bekommen wir nun unsere Wachstumsraten.
  • Da wir nun die Wachstumsraten haben, können wir in eine neue Zelle klicken. Hier geben wir dann den Befehl "=GEOMITTEL("Wert1";"Wert2";"Wert3") ein, bzw. kann man hier alle Zellen markieren, sodass diese ausgewählt werden (bspw. "=GEOMITTEL(C3;D3;E3)
  • Durch Betätigung der Entertaste rechnet Excel nun das Geometrische Mittel aus. Voila: Das Ergebnis steht in der Zelle.

Übungsaufgaben geometrisches Mittel 

Hier findest du 3 Übungsaufgaben um dein Wissen zu festigen. Die Lösungen findest du darunter.

  1. In der folgenden Tabelle findest du die Preise für Autoreifen. Berechne die mithilfe des geometrischen mittel die durchschnittliche prozentuale Veränderung.

Mai

Juni

Juli

August

September

1,70 €

1,90 €

2,10 €

2,30 €

2,00 €

Lösung

  1. Durch die neuesten Subventionen von der “Grünen Partei”, sinken die Preise für Strom. Berechne die durchschnittliche prozentuale Veränderung.

September

Oktober

November

Dezember

Januar

56,00 €

53,57 €

51,42 €

49,87 €

47, 84 €

Lösung

c) Der Big-Mac im Menü wird teurer. Berechne die durchschnittliche prozentuale Veränderung.

Mai

Juni

Juli

August

September

12,99 €

13,89 €

12,99 €

14,46 €

12,99 €

Lösung

Danke, dass du unseren Artikel gelesen hast!
Wir würden uns freuen wenn du uns ein Kommentar und eine Bewertung hinterlässt!
1 Stern2 Sterne3 Sterne4 Sterne5 Sterne (Noch keine Bewertungen)
Loading...

About The Author

Frank Olschewski ist Gründer und Geschäftsführer der Nachhilfeplattform Nachhilfe-Team.net, die er 2015 nach seinem Masterabschluss in Betriebswirtschaftslehre ins Leben gerufen hat. Bereits während seines Studiums sammelte er umfangreiche Unterrichtserfahrung und betreute über 500 Schüler:innen in verschiedenen Fächern. Bis heute entwickelt er Lernmaterialien weiter, optimiert digitale Lernprozesse und engagiert sich mit Herzblut für bessere Bildungschancen. Als Autor im Blog „Lernen leicht gemacht“ teilt er regelmäßig praktische Tipps, Hintergrundwissen und Erklärungen rund um Schule, Lernen und Prüfungen.

Ähnliche Beiträge

Kommentar verfassen

Deine E-Mail-Adresse wird nicht veröffentlicht. Erforderliche Felder sind mit * markiert

Diese Website verwendet Akismet, um Spam zu reduzieren. Erfahre, wie deine Kommentardaten verarbeitet werden.