Parabeln – das Wichtigste auf einen Blick

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Parabeln, quadratische Funktionen, ganzrationale Funktionen n-ten Grades und jede Menge andere Synonyme die im Unterricht fallen. Doch wer kann da noch den Überblick behalten? Dabei helfen wir dir!

Und, bereit einen Überblick zu bekommen? Na dann, los!

Parabel nennt man den Grafen einer quadratischen Funktion, die einen bogenförmigen Verlauf hat. Der Bogen kann nach oben oder nach unten geöffnet sein.

Es gibt 3 verschiedene Weisen, um eine Parabelgleichung darzustellen.

1. Die Form y = a (x-d) ² + e nennt man Scheitelpunktform der Parabelgleichung. Bei dieser Form kann der Scheitel sofort abgelesen werden. Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei S(d/e).

2. Der Graph jeder quadratischen Funktion mit der Funktionsgleichung f(x) = ax² + bx + c ist ebenfalls eine Parabel. Die Form nennt man allgemeine Parabelgleichung.

3. Die Produktform mit der Parabelgleichung von f(x) = a (x-NST1) (x-NST2), nennt man auch Nullstellenform. Bei dieser Form können die Nullstellen abgelesen werden.

Die Normalparabel hat die Funktionsgleichung f(x) = x². Nimmt man die Normalparabel als Ausgangspunkt, kann man jede Parabelgleichung herleiten.

Parabeln und ihre Eigenschaften

Die Variablen a, d, e bestimmen, wie der Graph der Parabel aussieht. Dieser entsteht durch Verschiebungen, Stauchungen und Streckungen in x-y-Achse – wie du im Schaubild nebenan erkennen kannst. Zu den Eigenschaften kannst du in dem Artikel Quadratische Funktion mehr finden.

Parabeln zeichnen

Durch eine Wertetabelle können Parabeln in einem Koordinatensystem eingezeichnet werden. Dabei wird in der Funktionsgleichung das x durch eine reelle Zahl ersetzt und das y ermittelt. Die Punkte werden in das Koordinatensystem eingezeichnet und miteinander verbunden.

Parabeln – 2. 3. 4. Ordnung

Parabeln sind nicht nur die Graphen von quadratischen Funktionen. Sie können auch Parabeln von Funktionen 3. und 4. Graden sein.

Die folgende Tabelle gibt dir eine Übersicht:

2.Ordnung

3.Ordnung

4.Ordnung

Gleichung

f(x) = ax² + bx + c

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

f(x) = ax^4 + bx³ + cx² + dx + e

Skizze

Nullstellen

max. 2 Nullstellen

max. 3 Nullstellen

keine Nullstelle und max. 4 Nullstellen

Extrempunkte

1 Extrempunkt – Scheitelpunkt

2 Extrempunkte

max. 3 Extrempunkte

Wendepunkte

kein Wendepunkt

max. 2 Wendepunkte

max. 3 Wendepunkte

Symmetrie

zur y-Achse

Punktsymmetrie zum Ursprung, wenn ungerade Exponenten
f(x) = ax3 + cx

zur y-Achse, wenn gerade Exponenten
f(x) = ax4 + cx² -+ e

Globaler Verlauf

a > 0

für x --> ∞: f(x) --> ∞
für x --> - ∞: f(x) --> ∞

a < 0

für x --> ∞: f(x) --> - ∞
für x --> - ∞: f(x) --> - ∞

a > 0

für x --> ∞: f(x) --> ∞
für x --> - ∞: f(x) --> - ∞

a < 0

für x --> ∞: f(x) --> - ∞
für x --> - ∞: f(x) --> ∞

a > 0

für x --> ∞: f(x) --> ∞
für x --> - ∞: f(x) --> ∞

a < 0

für x --> ∞: f(x) --> - ∞
für x --> - ∞: f(x) --> - ∞

Hier kannst du die Tabelle herunterladen: Parabeln – 2. 3. 4. Ordnung

In unserem Artikel über die Kurvendiskussion wird dir Schritt für Schritt gezeigt, wie du alle Eigenschaften richtig und einfach bestimmen kannst.

Parabeln n-ten Ordnung

Man kann nicht alle Eigenschaften verallgemeinern, aber die Symmetrie und der Globale Verlauf lässt sich verallgemeinern.

Symmetrie bei ganzrationalen Funktionen n-ten Grades

Eine ganzrationale Funktion n-ten Grades ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn nur ungerade Potenzen in ihr vorkommen.

Zum Beispiel:
f(x) =  x^7 + x³

Eine ganzrationale Funktion n-ten Grades ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn nur gerade Potenzen in ihr vorkommen.

Zum Beispiel:
f(x) = x^6 + 3x²

Globaler Verlauf bei ganzrationalen Funktionen n-ten Grades

Der globale Verlauf des Graphen ist abhängig vom Faktor der höchsten x-Potenz und dem Grad der ganzrationalen Funktion:

f(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + … + a0    

Grad: n
Vorfaktor: an

Vorfaktor positiv

Vorfaktor negativ

Grad gerade

für x --> ∞: f(x) --> ∞
für x --> - ∞: f(x) --> ∞

für x --> ∞: f(x) --> - ∞
für x --> - ∞: f(x) --> - ∞

Grad ungerade

für x --> ∞: f(x) --> ∞
für x --> - ∞: f(x) --> - ∞

für x --> ∞: f(x) --> - ∞
für x --> - ∞: f(x) --> ∞

Hier kannst du die Tabelle herunterladen : Parabeln n-ten Ordnung

Parabeln – FAQ

Was ist eine Parabel?

Eine Parabel ist der Graph einer quadratischen Funktion.

Wie viele Darstellungen von Parabelgleichungen gibt es?

Es gibt 3.
1. Scheitelpunktform
2. Allgemeine Parabelgleichung
3. Produktform

Was sind Nullstellen?

Nullstellen sind Schnittpunkte mit dem Funktionsgraphen und der x-Achse.

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