Binomische Formeln – wir zeigen dir, wie du sie ganz leicht anwendest!

Im Unterricht nehmt ihr gerade binomische Formeln durch und du benötigst Hilfe? Wir erklären dir ausführlich was die binomischen Formeln sind, wie die Formeln aussehen und wie du diese anwendest.

Es kann losgehen!

Die erste binomische Formel

(a+2)²

Die erste binomische Formel ist für alle, die ausmultiplizieren können. Wenn du das noch nicht kannst, kein Problem! Wir zeigen dir jetzt eine ganz einfache Herleitung. Lass dich also nicht vom ersten Anblick der Formel abschrecken.

Die Herleitung
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(a+b)² = a² + 2ab + b²

(a+b)² bedeutet:
= (a+b) * (a+b) | nun kannst du die Klammern ausmultiplizieren
= a*a + a*b + b*a + b*b
= a² + 2ab + b²

-> 2ab kannst du auch ganz einfach herausfinden, indem du dir die erste binomische Formel nochmal  anschaust: (a+b)² ist ausmultipliziert: 2*a*b, also 2ab.

Die Merkmale der ersten binomische Formel
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Wir zeigen dir nun woran du die erste binomische Formel erkennen kannst.

  • Die Klammern
  • Das Plus-Zeichen
  • Der Exponent ²
  • Die Variablen a und b. Diese können die verschiedensten Werte annehmen. Du musst dir immer klarmachen, was a und b in der Aufgabenstellung ist.

Ein Beispiel für die erste binomische Formel

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(2+3)² | an dem Pluszeichen erkennt du, dass es sich um die erste binomische Formel handelt.

= (2+3) * (2+3)
= 2*2 + 2*3 + 3*2 + 3*3 | vereinfacht aufschreiben
= 2² + 2*2*3 + 3² | Es gilt immer: Punkt vor Strich!
= 4 + 12 + 9
= 25

Die zweite binomische Formel
(a-b)² 

Auf den ersten Blick scheint die zweite Formel der ersten sehr zu ähneln. Wir zeigen dir nun den Unterschied.
Dieser liegt darin, dass du nun ein negatives Vorzeichen in der binomischen Formel vorfindest. Es geht also um eine Differenz.

Die Herleitung
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(a-b)² = a² – 2ab + b²

(a-b)² bedeutet:
= (a-b) * (a-b) | ausmultiplizieren
= a*a – a*b – b*a + b*b
= a²- ab -ab + b²
= a² – 2ab + b²

Die Merkmale der zweiten binomischen Formel
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  • die Klammern
  • ein negatives Vorzeichen, da es sich um eine Differenz handelt
  • der Exponent ²
  • wieder die Variablen a & b, die verschiedenste Werte annehmen können. Lies dir immer ganz genau die Aufgabenstellung durch!

Ein Beispiel für die zweite binomische Formel

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(6-4)² | ausmultiplizieren

= (6-4) * (6-4)
= 6*6 – 6*4 – 4*6 + 4*4 | vereinfacht aufschreiben
= 6²- 2*6*4 + 4² | Es gilt immer: Punkt vor Strich!
= 36 – 48 + 16
= 4

Die dritte binomische Formel
(a+b) * (a-b)

Diese dritte binomische Formel sieht nochmal anders aus. Hier sollen zwei Klammern multipliziert werden. Damit gelangst du zu dem Ergebnis: a² – b² 

Die Herleitung
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(a+b) * (a-b) = a² – b²

(a+b) * (a-b) | ausmultiplizieren
= a*a – a*b + b*a – b*b | vereinfachen
= a² – ab + ab – b² | – ab + ba (ab) hebt sich auf!
= a²- b² 

Die Merkmale der dritten binomischen Formel
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  • zwei Klammern werden miteinander multipliziert
  • die zweite Variable verhält sich im Vorzeichen anders, wie du an der Herleitung sehen kannst

Ein Beispiel für die dritte binomische Formel

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Diesmal haben wir nur eine Zahl gegeben, und zwar: b = 3; a
Dann gehst du wie folgt vor:

(a+3) * (a-3) | multipliziere die zwei Klammern

= a*a – a*3 + 3*a – 3*3 | zusammenfassen
= a² – 3a + 3a – 3² | – 3a + 3a hebt sich auf
= a²- 3² 

Aufgepasst!

Jetzt folgen noch weitere interessante Informationen zum Thema binomische Formeln. Viel Spaß!

Was sind binomische Zahlen?

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Binomische Formeln sind ein wichtiges Hilfsmittel zur Vereinfachung von Termen und können in beide Richtungen angewendet werden. Das bedeutet, dass sie zum Ausklammern und zum Faktorisieren verwendet werden können. Was genau das bedeutet erklären wir dir im Anschluss ganz einfach.

Du möchtest noch mehr zu den Themen Ausklammern und Faktorisieren lernen? Dann schau dir gerne den folgenden Artikel an https://www.nachhilfe-team.net/lernen-leicht-gemacht/ausklammern-und-ausmultiplizieren/

Zur Erinnerung

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Was sind nochmal die sogenannten Terme?

Terme sind mathematische Rechenausdrücke, die einen sinnvollen Zusammenhang beschreiben (zum Beispiel ein Sachverhalt oder Rechenausdruck). Terme können aus Zahlen, Rechenzeichen und Variablen bestehen.

Was bedeutet eigentlich ,binomisch‘?

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Das Adjektiv binomisch leitet sich vom Substantiv Binom ab. Das bedeutet: bi (zwei) und Nomen (Namen).

Wofür braucht man diese Formeln?

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Die binomischen Formeln helfen dir beim Ausrechnen des Quadrats von Klammern mittels Ausmultiplizieren/Ausklammern. Ebenso kannst du mit den binomischen Formeln das Ausklammern rückgängig machen, also wieder Klammern erzeugen. Das wäre dann das Faktorisieren.

Nun kannst du das Gelernte üben. Viel Erfolg!

Du benötigst unbedingt Hilfe in Mathematik? Dann schau dich gerne nach einem für dich passende*n Nachhilfelehrer*in um: https://www.nachhilfe-team.net/nachhilfelehrer-finden/

Wie lautet die erste binomische Formel + Ergebis?

Die erste Formel lautet:

(a+b)² = a² + 2ab + b² 

Wie lautet die zweite binomische Formel + Ergebnis?

Die zweite Formel plus Ergebnis lautet:

(a-b)² = a²- 2ab + b² 

Wie lautet die dritte binomische Formel + Ergebnis?

Die dritte Formel plus Ergebnis lautet:

(a+b) * (a-b) = a²- b² 

Berechne: (2+b)²

Du hast gegeben: a=2 ; b
Es handelt sich hierbei um die erste binomische Formel (a+b)² = a² +2ab + b². Das erkennst du an dem positiven Vorzeichen.

(2+b)²

= (2+b) * (2+b)
= 2*2 + 2*b + b*2 + b*b
= 2² + 2*2*b + b²
= 2² + 4b + b²
= 4 + 4b + b²

Berechne: (a-3)²

An dem negativen Vorzeichen erkennt du, dass es sich um die zweite binomische Formel handelt (a-b)² = a² – 2ab + b².

(a-3)²

= (a-3) * (a-3)
= a*a – a*3 – 3*a + 3*3
= a² – 2*a*3 + 3²
= a²- 6a + 3² / a²- 6a + 9

Berechne: (a+7)*(a-7)

An den zwei Klammern erkennst du, dass es sich um die dritte binomische Formel (a+b)*(a-b) = a²- b² handelt. Achte außerdem auf die Vorzeichen bei deiner Berechnung.

Gegeben sind die Werte: a ; b=7

(a+7)*(a-7)

= a*a – a*7 + 7*a -7*7
= a² -7a + 7a – 7² | -7a + 7a hebt sich auf
= a² – 7²

Berechne: (2x+3)²

Hierbei handelt es sich wieder um die erste binomische Formel (a+2)² = a² + 2ab + b². Das Besondere hier: du hast eine weitere Variable in der Formel. Diese Aufgabe berechnest du wie folgt:

(2x+3)² 

= 2x*2x + 2*2x*3 + 3*3 | nimm das x mit!
= 4x² + 12x + 3²

Faktorisiere folgendes Ergebnis: a² + 2ab + b²

Wie oben bereits erwähnt, kannst du das Ausklammern auch wieder rückgängig machen. Das sind ebenso beliebte Aufgaben in Klassenarbeiten.

a² + 2ab + b² 

= a² + a*b + b*a + b²
= (a + b) * (a + b)
= (a + b)²

Du benötigst Hilfe bei weiteren Mathematik Aufgaben? Kein Problem! Unter https://www.nachhilfe-team.net/lernen-leicht-gemacht/mathematik/ findest du weitere Themen und hilfreiche Tipps.

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